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Sur quelques théorèmes de géométrie plane liés à la surface de Kummer. (French) JFM 37.0570.01
Wird die Kummersche Fläche von einem ihrer Doppelpunkte auf eine nicht durch ihn gehende singuläre Tangentialebene projiziert, so ergeben sich als Projektion der zugehörigen scheinbaren Grenze sechs Tangenten eines Kegelschnittes \(\varGamma\). Diese sechs Tangenten bilden zwei dem Berührungskegelschnitte jener singulären Ebene einbeschriebene Dreiecke. Umgekehrt läßt sich zu einem Kegelschnitte und sechs seiner Tangenten eine Kummersche Fläche konstruieren, die zu diesem Kegelschnitte in der angegebenen Beziehung steht. Aus dieser Eigenschaft der Kummerschen Fläche ergeben sich durch passende Wahl des Projektionszentrums und durch Interpretation einiger einfachen Identitäten z. B. folgende Sätze über kubische Kurven:
Sind zwei Dreiecke einem Kegelschnitte \(C\) ein- und folglich einem Kegelschnitte \(\varGamma\) umbeschrieben, so liegen ihre sechs Eckpunkte und die sechs Berührungspunkte ihrer Seiten mit \(\varGamma\) auf der nämlichen kubischen Kurve \(c^3\). Die in einem Eckpunkte \(E\) jener Dreiecke zusammentreffenden Seiten trennen die in \(E\) die Kurven \(C\) und \(c^3\) berührenden Tangenten harmonisch. – Jede kubische Kurve, welche durch die sechs Eckpunkte zweier einem Kegelschnitt einbeschriebenen Dreiecke geht, schneidet die Seiten dieser Dreiecke noch in je einem Punkte eines Kegelschnitts, welcher den jenen beiden Dreiecken einbeschriebenen Kegelschnitt doppelt berührt.
Auch für die Kurven vierter Ordnung lassen sich durch dieses Übertragungsprinzip interessante Sätze gewinnen.
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Full Text: DOI Numdam EuDML