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Familles de surfaces à trajectoires orthogonales planes. (French) JFM 37.0638.04

Toulouse Ann. (2) 8, 153-239 (1906); Auch sep. Thèse. Paris: Gauthier-Villars. 93 S. \(4^{\circ}\) (1906).
Die Abhandlung verdankt ihre Entstehung einer Preisfrage, gestellt von Cosserat an der Académie des Sciences, Inscriptions et Belles-Lettres in Toulouse 1901 und 1902; für die damals von Verf. erreichten Resultate wurde ihm eine Medaille zuerkennt. Inzwischen hat er auf diesem Gebiete weiter gearbeitet und einige Früchte seiner Studien in C. R. 140, 208-211, 562-564 (”F. d. M. 36, 667-668, 1905, siehe JFM 36.0667.02 u. JFM 36.0667.03”) veröffentlicht; zu diesen Noten hat Darboux sofort einige Bemerkungen hinzugefügt (F. d. M. a. a. O.).
In der Einleitung gibt der Verf., Leutnant im 23. Artillerie-Regiment, eine Übersicht über die Geschichte des Problems, in der die Namen Ribaucour (1891), Darboux (Leçons sur les surfaces), O. Bonnet (1862) und Bianchi als Hauptvertreter bezüglicher Untersuchungen genannt werden. Aus der dann folgenden Übersicht entnehmen wir die Angaben für das Referat.
Die Abhandlung umfaßt vier Teile. In dem ersten Teile werden allgemeine Resultate bezüglich dieser Flächenfamilien gegeben, insbesondere das folgende Theorem: Wenn man eine Familie von Flächen mit ebenen orthogonalen Trajektorien hat, so kann man sofort und ohne Integration die Gleichungen der Trajektorien erhalten. Als Folge hiervon: Wenn die Gleichung der Oberflächenfamilie algebraisch ist, so sind es auch die Gleichungen der Trajektorien. Eine erste Anwendung bezieht sich auf den Fall, bei welchem die Gleichung der Familie unter der Form auftritt \(X+Y+Z=\varrho\), in der \(X,Y,Z\) Funktionen bezw. von \(x,y,z\) sind, \(\varrho\) der variable Parameter. In diesem Falle gehen die Trajektorien durch einen festen Punkt. Ein besonders interessanter Fall ist der, daß alle Trajektorien Parabeln sind, welche drei feste, zu den Koordinatenebenen parallele Ebenen berühren.
In dem zweiten Teile werden die Flächenfamilien untersucht, bei denen die Ebenen der Trajektorien zu einer gegebenen Richtung parallel sind oder durch einen festen Punkt gehen. In einem besonderen Falle wird ein Mittel gefunden, um nach Belieben als Trajektorien irgendwelche Kegelschnitte zu erhalten. Diese Ergebnisse stehen in unmittelbaren Zusammenhange mit den dynamischen Studien bei Darboux.
Der dritte Teil umfaßt die Forschung über die Laméschen Familien, welche orthogonale Trajektorien in den beiden obigen Fällen zulassen. Die vollständige Lösung wird ohne irgendeine Quadratur gegeben, und somit werden Lamésche Familien ermittelt, die von einer willkürlichen Funktion einer Veränderlichen und von einer willkürlichen Funktion zweier Veränderlichen abhängen. – Die Gleichung der Krümmungslinien dieser Familien ist merkwürdig einfach. Ihre Integration liefert in einem besonderen Falle ein merkwürdiges dreifach orthogonales System, bei dem die drei Familien zwei Systeme ebener Krümmungslinien zulassen. Das System war übrigens von Darboux bereits entdeckt (Leçons sur les surfaces, \(\text{n}^{\circ}\) 1056).
Endlich im dritten Teile wird das Problem nach der Methode von Ribaucour behandelt und seine ganz allgemeine Lösung, die von zwei willkürlichen Funktionen zweier Veränderlichen abhängt, in dem Falle entwickelt, wenn die Bezugsfläche abwickelbar ist. Neue besondere Lösungen ergeben sich in dem Falle, wenn die Bezugsfläche von konstanter Krümmung ist.
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