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Sulla totalità delle curve algebriche tracciate sopra una superficie algebrica. (Italian) JFM 37.0647.02
Für den Inbegriff algebraischer Kurven auf einer algebraischen Fläche \(F\) kann man eine ganze positive Zahl \(\varrho\), die Basiszahl, so bestimmen, daß nach Festlegung von \(\varrho\) algebraisch bestimmten Kurven auf \(F\) jede andere Kurve auf \(F\) mit ihnen algebraisch verbunden ist, d. h. jede lineare Kombinationen einer Anzahl derselben gehört mit einer analogen Kombination der übrigen demselben irreduzibeln algebraischen System an. Die notwendige und hinreichende Bedingung, daß die Picardschen Integrale auf einer algebraischen Fläche sich auf algebraisch-logarithmische Kombinationen reduzieren, ist, daß die Fläche regulär, also ihre lineare Zusammenhangszahl 1 ist. Die Basiszahl ist invariant bei allen birationalen Transformationen, soweit sie nicht Ausnahmekurven erster Art (im Sinne von Castelnuovo-Enriques, Annali di Mat. (3) 6, 165-225; F. d. M. 32, 622, 1901, JFM 32.0622.01) einführt. Als Verallgemeinerung eines Satzes von Bézout zeigt der Verf. noch die Abhängigkeit der Schnittpunktezahl zweier Flächenkurven von den Zahlen der Schnittpunkte der Kurven mit der Basis.

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References:
[1] Cfr. ad es. Picard et Simart,Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes (Paris, Gauthier-Villars, 1904); t. II, fascicolo 2{\(\deg\)}, pag. 241.
[2] Ved. ad es. il rapporto dal titolo,Sur la théorie des surfaces algébriques, riprodotto nei Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (t. IX, 1895, pag. 164); nonchè il Cap. IX (n0 10, pag. 244) dellaThéorie des fonctions algébriques, t. II.
[3] A proposito della distinzione delle curve eccezionali in due specie, ved. il § 3 della Memoria di Castelnuovo-Enriques,Sopra alcune questioni fondamentali nella teoria delle superficie algebriche (Annali di Matematica, (3), VI, 1901).
[4] Nöther,Zur Grundlegung der Theorie der algebraischen Raumkurven (Abhandlungen der Berliner Akad., 1882; §§ 11, 12.) · JFM 14.0669.03
[5] Humbert,Théorie générale des surfaces hyperelliptiques (Journal de Math. 1893; pag. 72). · JFM 25.1220.01
[6] Severi,Sulle corrispondenze tra i punti di una curva algebrica e sopra certe classi di superficie (Memorie della R. Acc. di Torino, t. 64, 1903); ni 16, 21.
[7] Picard et Simart, loc. cit., Cap. IX, no 12.
[8] Humbert, loc. cit.Théorie générale des surfaces hyperellipfiques (Journal de Math. 1893; pag. 72).
[9] Severi, loc. cit.Sulle corrispondenze tra i punti di una curva algebrica e sopra certe classi di superficie (Memorie della R. Acc. di Torino, t. 64, 1903); ni 17, 22.
[10] Ved. le mie Note,Osservazioni sui sistemi continui di curve appartenenti ad una superficie algebrica (Atti della R. Acc. di Torino, t. 39, 1904);Intorno alla costruzione dei sistemi completi non lineari che appartengono ad una superficie irregolare (Rend. del Circolo Mat. di Palermo, 1905).
[11] Ved. la mia Nota,Sulle curve algebriche virtuali appartenenti ad una superficie algebrica (Rend. del R. Istituto lombardo, (2), t. 38, 1905).
[12] Cfr. Severi,Sul teorema di Riemann-Roch e sulle serie continue di curve appartenenti ad una superficie algebrica (Atti della R. Acc. di Torino, t. 40, 1905); eSulle curve algebriche virtuali · JFM 36.0694.02
[13] Cfr. p. e. Appell et Goursat,Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales (Paris, Gauthier-Villars, 1895); no 148.
[14] Cfr. ad es. Appell et Goursat, loc. cit., no 96.
[15] Che per ogni superficie regolare si verifichi questa proprietà, è enunciato nella mia Nota,Sulle superficie algebriche che posseggono integrali di Picard della 2 a specie (Rendiconti dei Lincei, settembre 1904), e dimostrato nella mia Memoria dallo stesso titolo, inserita in questi ?Annalen? (Bd. 61, 1905). Che, viceversa, una superficie dotata della proprietà a?) sia regolare, risulta, dopo le ricerche dei sigg. Humbert e Picard, dal teorema b?) di Enriques.
[16] Enriques,Una proprietà delle serie continue di curve appartenenti ad una superficie regolare (Rendiconti di Palermo, 1899); eSulla proprietà caratteristica delle superficie algebriche irregolari (Rendiconti della R. Acc. di Bologna, Decembre 1904).
[17] Enriques,Sulla proprietà caratteristica delle superficie · JFM 64.0688.03
[18] Picard et Simart, t. II, pag. 242.
[19] Ricordo che unacurva eceezionale dicesi di 1* specie, quando con una trasformazione birazionale della superficie, la si può mutare in un punto semplice, senza che, necessariamente, qualche suo punto si muti in una curva; mentre dicesi di 2* specie nel caso contrario. Cfr. Castelnuovo-Enriques,Sopra alcune questioni fondamentali nella teoria delle superficie algebriche (Annali di Matematica, (3), t. 6, 1901); no 8.
[20] Cfr. Picard,Sur une formule générale donnant le nombre des intégrales doubles distinctes de seconde espèce relatives à une surface algébrique (Annales de l’École Normale (3), t. 21, 1905); no 21.
[21] Castelnuovo-Enriques,Sopra alcune questioni fondamentali
[22] Picard,Sur une formule générale, no 18.
[23] Per la definizione di quest’ invariante, ved. ad. es. Castelnuovo-Enriques,Sopra alcune questioni fondamentali; no 6.
[24] Cfr. per l’ordine d’idee del testo la mia Memoria,Sulle intersezioni delle varietà algebriche, ecc. (Memorie della R. Acc. di Torino, (2), t. 52, 1902); n{\(\deg\)} 26; nonchè l’altra mia Memoria citata,Sulle corrispondenze tra i punti d’una curva algebrica
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