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Sopra alcune superficie del \(4^{\circ}\) ordine rappresentabili sul piano doppio. (Italian) JFM 37.0655.04

Eine Fläche vierter Ordnung vom Geschlecht 1 \((p_g=p_n=P=1)\), welche eine Kurve vom (virtuellen) Geschlecht 2 enthält, enthält ein ganzes Netz von solchen. Die Kurven dieses Netzes schneiden sich zu je zweien in den Punktepaaren einer rationalen Involution \(J\), welche eine Abbildung der Fläche auf eine Doppelebene mit Verzweigungskurve sechster Ordnung erlaubt. Die Geraden, welche die Punktepaare der Involution verbinden, bilden eine rationale Kongruenz \((\varGamma )\). Hier wird der Fall untersucht, daß eine \(F^4\) eine und daher ein Netz von Kurven sechster Ordnung vom Geschlecht 2 besitzt. Die zugehörige Kongruenz \(\varGamma\) ist eine Kummersche Kongruenz (2,7) ohne singuläre Linie. Die Fläche \(F^4\) “bietet ein Beispiel einer algebraischen Fläche mit unendlich vielen birationalen Transformationen in sich, die eine diskontinuerliche Gruppe bilden”. – Umkehrung und Verallgemeinerung. Für jede Kongruenz erster Art \((2,n)\) existieren unendlich viele Flächen vierter Ordnung, auf denen die Geraden der Kongruenz die Punktepaare zweier Involutionen zweiten Grades ausschneiden. – Speziallfall: die Kummersche Fläche ist bekanntlich Brennfläche einer Kongruenz (2,2); die sechs zugehörigen Involutionen “erzeugenden eine Gruppe \(G_{32}'\) von 32 birationalen Transformationen, von denen 16 projektiv sind”. – “Die Gruppe \(G_{32}'\) transformiert jede Asymptotenlinie der Kummerschen Fläche in sich selbst.”

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