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Sur les figures d’équilibre peu différentes des ellipsoïdes d’une masse liquide homogène douée d’un mouvement de rotation. (Russian) JFM 37.0718.13
St. Pétersb. Mémoires 1906, 1-225 (1906).
Dieses Werk schließt sich an die frühere Arbeit des Verf. an: “Sur un problème de Tschebyschef” (St. Pétersb. Mém. (8) 17, JFM 37.0973.03).
Der Autor untersucht solche Gleichgewichtsformen einer sich drehenden Flüssigkeit, welche sich wenig von den Ellipsoiden von Maclaurin oder Jacobi unterscheiden und mit ihnen zusammenfallen, wenn ein Parameter \(\alpha\) gegen 0 konvergiert.
Zu diesem Zwecke wird die Bedingung betrachtet: \[ U+\varOmega (x^2+y^2)=\text{const.}, \] die an der Oberfläche der flüssigen Masse statthaben muß. Hier ist \(\varOmega =\omega^2/2\pi fk\), wo \(\omega\) die Winkelgeschwindigkeit um die \(z\)-Achse, \(k\) die Dichtigkeit der Flüssigkeit und \(f\) der Koeffizient der Newtonschen Kraft ist. Für das Ellipsoid nimmt der Autor an: \[ x=\sqrt {\varrho +1}\sin\theta\cos\psi ,\quad y=\sqrt {\varrho +q}\sin\theta\sin\psi ,\quad z=\sqrt {\varrho}\cos\theta , \] bei \(q\leq 1\); und für die Gleichgewichtsoberflächen: \[ x=\sqrt {\varrho +\zeta +1}\sin\theta\cos\psi ,\quad y=\sqrt {\varrho +\zeta +q}\sin\theta\sin\psi ,\quad z=\sqrt {\varrho +\zeta}\cos\theta , \] wo \(\zeta\) eine Funktion von \(\theta\) und \(\psi\) ist, welche verschwindet, wenn der Parameter \(\alpha\) in 0 übergeht.
Dabei ergibt sich auf der Oberfläche der flüssigen Masse folgende Bedingung: \[ U+(\varOmega_0+\eta )(\varrho +\cos^2\psi +q\sin^2\psi +\zeta )\sin^2\theta =\text{const.,} \] wo \(\eta\) gleichzeitig mit \(\alpha\) in 0 übergeht.
Die Analyse wird in gleicher Weise sowohl für den Maclaurinschen, als auch für den Jacobischen Fall durchgeführt; sie stützt sich auf die Entwicklung des Potentials \(U\) nach Laméschen Funktionen in Abhängigkeit von der Funktion \(\zeta\) und auf die Untersuchungen der transzendenten Gleichungen, die den obigen Bedingungen auf der Flüssigkeitsoberfläche genügen.
Der Autor kommt zu folgenden wichtigen Folgerungen:
Alle möglichen Gleichgewichtsoberflächen haben eine Symmetrieebene, die auf der Drehachse senkrecht steht. Zum Maclaurinschen Ellipsoid gibt es sehr nahekommende Gleichgewichtsformen, die entweder Rotationsflächen sind oder mehrere Symmetrieebenen haben, die durch die Drehachse gehen. Das Jacobische Ellipsoid gestattet nahekommende Gleichgewichtsformen, entweder mit einer durch die Drehachse gehenden Symmetrieebene, oder mit zweien. Bei konstantem Volumen gibt es nur eine nichtellipsoidale Gleichgewichtsform, die dem Jacobischen Ellipsoid sehr nahe kommt. Bei der ersten Annäherung kann die Gleichgewichtsfläche als eine algebraische Fläche betrachtet werden.

MSC:
76A05 Non-Newtonian fluids
76U05 General theory of rotating fluids