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Sur une formule relative au potentiel de simple couche et son application à la recherche des fonctioins harmoniques, satisfaisant à certaines conditions. (French) JFM 37.0786.01

Neben der bekannten Gleichung, die die Diskontinuität der normalen Ableitung des Flächenpotentials an der Fläche ausdrückt: \[ (1)\quad \frac 12\left[\frac {\partial V'}{\partial n}-\frac {\partial V}{\partial n}\right] =2\pi\varrho_m \] [\(n\) ist die innere Normale, \(\frac {\partial V}{\partial n}\) und \(\frac {\partial V'}{\partial n}\) sind die Werte der normalen Ableitung für innere und für äußere Punkte, die dem Flächenpunkte \(m\) unendlich nahe liegen, \(\varrho_m\) die Dichtigkeit in \(m\)] existiert noch eine zweite, weniger bekannte: \[ (2)\quad \frac 12\left(\frac {\partial V'}{\partial n}+\frac {\partial V}{\partial n}\right)=\iint\varrho\frac {\cos\psi}{r^2}d\sigma , \] worin \(\psi\) der Winkel ist, den die Verbindungslinie von \(m\) und \(d\sigma \) mit der inneren Normale von \(m\) bildet. Für Formel (2) oder vielmehr für die Gleichungen, die durch Addition und Subtraktion von (1) und (2) entstehen, wird hier ein einfacher Beweis gegeben.
Durch Benutzung des aus (1) und (2) folgenden Ausdrucks für \(\frac {\partial V}{\partial n}\) läßt sich die Bestimmung einer im Innern einer geschlossenen Fläche \(S\) harmonischen Funktion \(V\), die auf \(S\) selbst der Gleichung \[ aV+b\frac {\partial V}{\partial n}=F \] genügt (\(T\) eine auf \(S\) gegebene Funktion), sofort auf eine Fredholmsche Integralgleichung reduzieren.
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Full Text: DOI Numdam EuDML