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Invariants of binary forms under modular transformations. (English) JFM 38.0147.02

Die Arbeit knüpft an eine voraufgehende an (F. d. M. 37, 137, 1906, JFM 37.0137.01). Liegt eine binäre Form \(f\) vor, deren Koeffizienten einem nicht-modularen Felde \(F\) angehören, so ist das Problem der Bestimmung der zugehörigen invarianten Formen formal identisch mit dem entsprechenden Problem der gewöhnlichen algebraischen Invariantentheorie. Ganz anders verhält es sich im Falle eines endlichen modularen Feldes; die Glieder einer Invariante \(I\) sind dann nicht mehr notwendig von demselben Grade oder von konstanten Gewichte, und in die charakteristischen partiellen Differentialgleichungen für \(I\) gehen höhere Ableitungen ein. Die direkte Berechnung der \(I\) würde schwierig werden, wenn nicht die wirkliche Gestalt der \(I\) eine gewise Regelmäßigkeit aufweise, und wenn nicht einfache Relationen beständen zwischen denjenigen \(I\), die der algebraischen Theorie und der modularen gemeinsam sind, und denen, die der letzteren spezifisch eignen.
Es sei jetzt \(F\) Galoissches Feld “\(GF[p^{n}]\)” der Ordnung \(p^{n}\). Einem einzelnen Problem der algebraischen Theorie entspricht dann hier ein doppelt unendliches System von Problemen, so daßes weniger darauf ankommen kann, individuelle solcher Probleme herauszugreifen, als zu einer vergleichenden Übersicht zu gelangen. Für die wirkliche Durchführung im einzelnen fehlt es zudem bisher an einer geeigeneten symbolischen Behandlung.
Es existiert hier nur eine endliche Anzahl von linear unabhängigen Invarianten \(I\) einer gegebenen binären Form \(f_{m}\) des Grades \(m\): die Zahlen \(m\), \(n\), \(p\) begründen eine kommutative lineare assoziative Algebra, deren Einheiten die \(I\) sind.
Als eine Hauptanwendung erscheint die invariante Reduktion binärer Formen auf kanonische Gestalten.
Die binäre Form \(m\)-ter Ordnung sei \(f=\sum_{i=0}^{m}a_{i}x^{m-i}y^{i}\), wo die Koeffizienten \(a_{i}\) dem Galoisschen Felde \(GF[p^{n}]\) angehören. Damit ist \(I=\prod_{i=0}^{m}(a_{i}^{\mu}-1)\), wo \(\mu=p^{n}-1\), eine absolute Invariante. Zum Beweise dieser und ähnlicher Sätze wird \(f\) den drei Operationen unterworfen: (a) \(x=x'+ty'\), \(y=y'\); (b) \(x=x'\), \(y=\lambda y'\); (c) \(x=y'\), \(y=-x'\), die die Gruppe aller binären linearen Transformationen mit Koeffizienten im \(GF[p^{n}]\) erzeugen. Die Bedeutung von \(I\) ist, daßdie Form dann und nur dann identisch verschwindet, wenn \(I\neq 0\). Es ist dies ein einfaches Beispiel für die allgemeine Erscheinung, daßoft in der Modulartheorie eine einzelne Invariante eine Eigenschaft ausdrückt, wo in der algebraischen Theorie eine Kovariante oder eine ganzes invariantes Gleichungsystem erforderlich ist. Ferner ist auch \(P=\prod_{i=1}^{m-1}(a_{i}^{\mu}-1)\), \(\mu=p^{n}-1\) eine absolute Invariante von \(f\). Eine Invariante ist die Resultante \(E\) von \(f=0\), \(x^{p^{n}}=x\), \(y^{p^{n}}=y\). Dabei zerfällt \(E\) in das Produkt von \(a_{m}\) mit der Resultante \(R\) von \(f_{1}\equiv a_{0}+a_{1}y+\cdots+a_{m}y^{m}=0\), \(y^{p^{n}}=y\).
Ein allgemeines Theorem bezieht sich auf die Gewichte und Grade irgendeiner Invariante \(\varPhi\) von \(f\). Ist \(a_{0}^{e_{0}}a_{1}^{e_{1}}\dots a_{m}^{e_{m}}\) ein beliebiger Term von \(\varPhi\), so unterscheiden sich die Gewichte \(\sigma=e_{1}+2e_{2}+\cdots+me_{m}\) der verschiedenen Terme um Vielfache von \(\mu=p^{n}-1\) und die Grade \(\varrho\) um Vielfache von \(\mu/\varrho\), wo \(\varrho\) den größten gemeinsamen Teiler von \(m\) und \(\mu\) bedeutet; endlich ist \(m\varrho-2\sigma\) ein Vielfaches von \(\mu\).
Die Differentialgleichungen für eine Invariante sind verwickelter als in der algebraischen Theorie. Es wird zu dem Behuf im Hinblick auf die Substitution (a) der Taylorsche Satz für ein Polynom vom Grade \(\mu\) herangezogen.
Zunächst wird das Beispiel der binären quadratischen Form \(f=f_{2}\) mit Koeffizienten mod. 3 behandelt. Ist \(\varPhi\) ein Polynom in \(a_{0},a_{1},a_{2}\), mit Exponenten \(\leqq 2\), so ergibt sich für die vermöge (a) transformierte Bildung \(\varPhi'\): \[ \varPhi'-\varPhi=t\sigma\varphi+t^{2}\sigma_{1}\varphi, \] wo \[ \delta\varPhi\equiv 2a_{0}\varPhi_{a_{1}}+a_{1}\varPhi_{a_{2}}+2a_{0}^{2}\varPhi_{a_{1}a_{2}}+a_{0}a_{1}\varPhi_{a_{2}^{2}}+2a_{0}^{2}a_{1}\varPhi_{a_{1}^{2}a_{2}}+(a_{0}+a_{0}a_{1}^{2})\varPhi_{a_{1}a_{2}^{2}}+2a_{0}a_{1}\varPhi_{a_{1}^{2}a_{2}^{2}}, \] wo die Indizes die bezügliche partielle Ableitung bezeichen und \(\sigma_{1}\) ein analoger Differentiationsprozeßist. Die Bedingung \(\sigma\varPhi=0\) erweist sich als notwendig und hinreichend für \(\varPhi'=\varPhi\). Setzt man noch \(Q=a_{0}a_{2}^{2}+a_{0}^{2}a_{2}+a_{1}^{2}a_{2}+a_{1}^{2}a_{0}-a_{2}-a_{0}\), \(\varDelta=a_{1}^{2}-a_{0}a_{2}\), so bilden die vier Formen \(I\), \(Q\), \(\varDelta\), \(\varDelta^{2}\) ein vollständiges System linear unabhängiger Invarianten von \(f\) mod. 3, während als unabhängige Invarianten überhaupt \(Q\) und \(\varDelta\) hinreichen.
Weiter wird die binäre kubische Form \(f_{3}\) mod. 3 untersucht. Hier hat man ein vollständiges System von 6 linear unabhängigen Invarianten: das Produkt von irgend zwei Invarianten ist linear durch jene 6 ausdrückbar. Nunmehr wendet sich der Verf. zum Falle einer \(f_{2}\) mit dem Modul \(2^{n}\). Man kommt hier mit drei gewissen unabhängigen Invarianten aus.
Was jetzt den allgemeinen Fall der \(f_{m}\) mit dem Modul \(p^{n}\) betrifft, so ist hinsichtlich der Invarianz gegenüber der Substitution (a) ein eigentümlicher Unterschied gegenüber der algebraischen Theorie zu bemerken.
In der letzteren ist die Invarianz von \(\varPhi\) durch die Differentialgleichung \(\sigma\varPhi=0\) charakterisiert, wo \(\sigma\varPhi\) den Koeffizienten von \(t\) in \(\varPhi'-\varPhi\) bedeutet.
Dies gilt auch noch in der modularen Theorie falls \(n=1\), aber nicht mehr für \(n>1\). In letzterem Falle kann man nur aussagen, daßdas Verschwinden der Koeffizienten von \(t,t^{p},t^{p^{2}},\dots,t^{p^{n-1}}\) in \(\varPhi'-\varPhi\) das der übrigen nach sich zieht: immerhin wird hierdurch die Berechnung von Invarianten wesentlich erleichtert.
Als Beispiel dient die \(f_{2}\) mit dem Modul \(3^{2}\). Jede Invariante von \(f\) ist eine lineare Funktion von \(I\), \(Q\) und \(\varDelta^{i}(i=1,2,\dots,8)\): als unabhängige Invarianten genügen \(Q\) und \(\varDelta\). Nunmehr wird zur \(f_{2}\) mit dem allgemeinen Modul \(p^{n}\) übergegangen. Hier läßt sich z. B. die absolute Invariante \[ I=(a_{0}^{\nu}+1)(a_{2}^{\nu}+1)\left\{\sum_{i=0}^{\nu}a_{0}^{i}a_{2}^{i}a_{1}^{2\nu-2i}-1\right\} \] aufstellen, wo \(\nu=\frac{1}{2}(p^{n}-1)\), und ein analoges Ergebnis gilt für eine \(f_{3}\). In letzterem Falle existieren für \(p=3\), \(n=2\) 18 linear unabhängige Invarianten usf.
Die wichtigste Anwendung dieser Invarianten sind die verschiedenen kanonischen Gestalten von \(f\). So erhält man im Falle einer \(f_{2}\) mit dem Modul \(p^{n}\) für \(p>2\) die kanonischen Gestalten \(x^{2}-\nu y^{2}\), \(xy\), \(x^{2}\), \(\nu x^{2}\), \(0\), wobei die beiden Invarianten \(\varDelta\) und \(I\) bzw. die Werte \(\nu\), 0; 1, 0; 0, \(-2\); 0, 0; 0, \(-1\) besitzen, dagegen für \(p=2\) die Gestalten \(x^{2}+xy+cy^{2}\), \(xy\), \(x^{2}\), 0, wo die drei Invarianten \(a_{1}\), \(I\), \(K\) bzw. die Wertsysteme haben: (1,0,1); (1,0,0); (0,0,0); (0,1,0). Ähnliche Tabellen werden im Falle einer \(f_{3}\) für die Moduln 2, \(2^{2}\), \(3^{n}\), 5 aufgestellt. Stets sind die bezüglichen Invarianten notwendig zur Charakterisierung der kanonischen Gestalten.
Der Verf. betont selbst, daßdiese Untersuchungen keinen Anspruch auf systematische Vollständigkeit erheben; sie liefern aber wertvolles Material als Grundlage der schwierigen Theorie der arithmetischen Invarianten binärer Formen.
Man vergleiche das folgende Referat über “Quadratische Formen” desselben Verf. (JFM 38.0150.01)

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