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Invariants of the general quadratic form modulo 2. (English) JFM 38.0150.01

Die Arbeit knüpft an eine voraufgehende an (F. d. M. 37, 137, 1906, JFM 37.0137.01). Die Theorie der projektiven Invarianten von Formen, deren Koeffizienten einem endlichen Felde der Ordnung \(p^{n}\) angehören, bietet wesentliche Unterschiede gegenüber der gewöhnlichen algebraischen Theorie dar. Es handelt sich hier um die Invarianten einer \(m\)-ären quadratischen Form \(Q_{m}\) im Felde der Ordnung 2, also im den für Anwendungen wichtigsten Fall. Für \(m<6\) wird ein vollständiges System von \(m\) unabhängigen Invarianten sowie ein solches von linear unabhängigen Invarianten aufgestellt. Die kleinste Anzahl von Variabeln, durch die \(Q_{m}\) ausdrückbar ist, wird, wie im algebraischen Falle, durch den Rang \(r\) der Determinante von \(Q_{m}\) angegeben, nur daßbei Minoren ungerader Ordnung der Faktor 2 zu streichen ist. Bei geradem \(r\) existieren zwei verschiedene kanonische Gestalten von \(Q_{m}\). Es sei vorgelegt die quadratische Form (1) \(Q_{m}=\varSigma c_{ij}X_{i}X_{j}+\varSigma b_{i}X_{i}^{2} \quad (i<j)\) in \(m\) Variablen, mit Koeffizienten mod. 2. Eine lineare Substitution der Variabeln mit Koeffizienten mod. 2 ist erzeugbar aus den Fundamentalsubstitutionen \((X_{i},X_{j})\), die \(X_{i}\) mit \(X_{j}\) vertauschen, und (2) \(X_{1}-X_{2}'\), \(X_{2}=X_{2}',\dots\), \(X_{m}=X_{m}\).
Zunächst wird die Diskriminante \(\varDelta\) von \(Q\) untersucht. Ist \(m\) ungerade, so besitzen alle Entwicklungsglieder von \(\varDelta\) gerade Koeffizienten, so daß\(\frac{1}{2}\varDelta\) ganzzahlige Koeffizienten erhält; diese Bildung heißt die Semidiskriminante \(S_{m}\) von \(Q_{m}\) mod. 2. Ist \(m\) gerade, so wird \(\varDelta\) das Quadrat der sogenannten Pfaffschen Determinante \([1,2,\dots,m]\). Je nachdem \(m\) gerade oder ungerade, ist die Diskriminante oder die Semidiskriminante eine Invariante von \(Q_{m}\). Zwei weitere Invarianten sind \(A_{m}=\prod_{i<j}^{ij=1,\dots m}(c_{ij}+1),\quad I_{m}=A_{m}\prod_{i=1}^{m}(b_{i}+1)\). Die Form \(Q_{m}\) verschwindet dann und nur dann identisch, wenn \(I_{m}\equiv 1\); sie ist dann und nur dann auf eine unäre Form reduzierbar, wenn \(I_{m}\equiv 0\), \(A_{m}\equiv 1\). Da die Fälle \(m=2,3\) weiter keine Schwierigkeiten darbieten, wird zunächst der Fall \(m=4\) eingehend untersucht. Man wende eine Substitution (2) an auf ein Polynom \(\varPhi\) in den zehn Keffizienten \(c_{ij}\), \(b_{i}\) und stelle die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür auf, daß\(\varPhi\) mit der transformierten Bildung \(\varPhi'\) identisch übereinstimmt. Es ergibt sich der Reihe nach, daßkein Term von \(\varPhi\) gewisse Produkte der \(b\) und \(c\) als Faktor enthalten darf, z. B. \(b_{i}b_{j}b_{k}c_{ij}c_{ik}\). Man gelangt auf diesem Wege zu einem vollständigen Systeme von 6 linear unabhängigen Invarianten, und jede Invariante von \(Q_{4}\) läßt sich durch 4 derselben ganzrational ausdrücken. Vermöge der letzteren, die dann jeweils die bestimmten numerischen Werte 0 oder 1 annehmen, lassen sich die verschiedenen kanonischen Gestalten von \(Q_{4}\) charakterisieren; diese sind angegeben durch \[ X_{1}X_{2}+X_{3}X_{4}, \quad X_{1}X_{2}+X_{3}X_{4}+X_{1}^{2}+X_{2}^{2}, \quad X_{1}X_{2}+X_{3}^{2}, \]
\[ X_{1}X_{2}, \quad X_{1}X_{2}+X_{1}^{2}+X_{2}^{2}, \quad 0. \]
Sodann kommt der Fall \(m=5\) an die Reihe unter Berücksichtigung analoger Gesichtspunkte. Insbesondere ergibt sich, daßin einer allgemeinen Invariante \(\varPhi\) die Glieder höchsten Grades in den \(b\) durch das Produkt zweier gewissen Invarianten gegeben werden, ein Satz, der die weitere Diskussion erheblich vereinfacht. Man gelangt zu einem vollständigen Systeme von 7 linear unabhängigen Invarianten und von 5 unabhängigen: die letzteren charakterisieren wiederum die kanonischen Gestalten von \(Q_{5}\).
Daran schließt sich der Fall \(m=6\). Hier gelangt der Verf. nur zu dem wahrscheinlichen Ansatze von 6 unabhängigen und 9 linear unabhängigen Invarianten.
Man vergleiche das vorstehende Referat (JFM 38.0147.02) über die “Invarianten der binären Formen” desselben Verf. Inzwischen hat der Verf. seine Untersuchungen über ternäre quadratische Formen weitergeführt; s. den nächsten Jahrgang.

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