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Die Jacobische Transformation der quadratischen Formen von unendlich vielen Veränderlichen. (German) JFM 38.0156.01
Die Jacobische Transformation der quadratischen Formen auf eine Summe von Quadraten wird dazu verwendet, einige Sätze von Hilbert (”F. d. M. 37, 351, 1906, siehe JFM 37.0351.03 u. JFM 37.0351.04”) abzuleiten und zu ergänzen. Sei \(S_{n}=\sum_{i,k=1}^{n}a_{ik}x_{i}x_{k} \quad (a_{ik}=a_{ki})\) eine quadratische Form von \(n\) Veränderlichen, und seien \(S_{1},S_{2},\dots\) die sukzessiven “Abschnitte” von \(S_{n}\), d. h. \(S_{n}=\sum_{i,k=1}^{a}a_{ik}x_{i}x_{k}\), \(A_{ik}^{(\alpha)}\) die ersten Minoren von \(S_{a}\), \(A^{(\alpha)}\) die Determinante von \(S_{\alpha}(\alpha = 1,2,\dots,n)\). Man setze, für \(A^{(\alpha)}\neq 0\), (1) \(v_{1}\sqrt{1.A^{(1)}}=u_{1}\), \(v_{2}\sqrt{A^{(1)}A^{(2)}}=A_{21}^{(2)}u_{1}+A_{22}^{(2)}u_{2}\), \(v_{3}\sqrt{A^{(2)}A^{(3)}}=A_{31}^{(3)}u_{1}+A_{32}^{(3)}u_{2}+A_{33}^{(3)}u_{3}\), usf., so gilt die Identität \(\sum^n_{i=1}v^2_i=\frac{1}{A^{(n)}}\sum^n_{i,k=1}A^{(n)}_{ik}u_iu_k\). Kürzer läßt sich diese Identität schreiben (I) \(U_n'U_n=S^{-1}_n\), wenn \(U_{n}\) die Substitution (1) bezeichnet, \(U_{n}'\) ihre Transponierte. Aus (I) folgt \(U_{n}^{-1}U_{n}'^{-1}=S_{n}\), d. i. die Darstellung von \(S_{n}\) als Summe von \(n\) Quadraten. Sodann wird eine Reihe von Hülfssätzen über reelle Bilinearformen \(A\) mit unendlich vielen Variabeln vorausgeschickt. Eine solche Form \(A=\sum_{i,k=1}^{\infty}a_{ik}x_{i}y_{k}\) heiße nach Hilbert beschränkt, wenn eine positive Größe \(M\) existiert, so daß der \(n\)-te Abschnitt \(A_{n}=\sum_{i,k=1}^{n}a_{ik}x_{i}y_{k}\) für jedes \(n\) dem Betrage nach unter \(M\) bleibt für alle reellen \(x_{i}\), \(y_{k}\), für die \(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}=1\), \(\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}=1\). Hilbert hat bewiesen, daß das Produkt zweier beschränkten Bilinearformen existiert und wieder beschränkt, wenn eine positive Größe \(M\) existiert, so daß der \(n\)- te Abschnitt \(A_{n}=\sum_{i,k=1}^{n}a_{ik}x_{i}y_{k}\) für jedes \(n\) dem Betrage nach unter \(M\) bleibt für alle reellen \(x_{i}\), \(y_{k}\), für die \(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}=1\), \(\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}=1\). Hilbert hat bewiesen, daß das Produkt zweier beschränkten Bilinearformen existiert und wieder beschränkt ist, und daß man mit solchen Formen rechnen kann, wie mit Bilinearformen von \(n\) Variabeln. Ferner gilt die wichtige Ungleichheit (1) \(\left|\sum_{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right|\leqq\sqrt{\sum_{i=1}^{n}u_{i}^{2}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}v_{i}^{2}}\). Hieraus läßt sich ableiten, daß das Maximum des Betrages einer reellen Bilinearformen \(A\) von \(2n\) reellen Veränderlichen \(x_{i}\), \(y_{k}\) mit den Quadratsummen \(\varSigma x_{i}^{2}=1\), \(\varSigma y_{k}^{2}=1\) sicher nicht übersteigt die Quadratwurzel aus dem Maximum des Betrages der beiden zugehörigen quadratischen Formen \(A_{n}A_{n}'\) und \(A_{n}'A_{n}\).
Nun seien \(S=\sum_{i,k=1}^{\infty}a_{ik}x_{i}x_{k}\) eine reelle quadratische Form der unendlich vielen Veränderlichen \(x_{1},x_{2},\dots,S_n\), ihr \(n\)-ter Abschnitt, \(A^{(n)}\) dessen Determinante, \(A_{ik}^{(n)}\) deren Minoren. Es sei \(S\) positiv-definit, und die Wurzeln der sukzessiven charakteristischen Abschnittsgleichungen \(| E_{n}-\lambda S_{n}|=0\) sollen \(\infty\) nicht zur Häufungsstelle haben. Alsdann ist auch jeder Abschnitt \(S_{n}\) von \(S\) positiv-definit, und alle Abschnittsdeterminanten \(A^{(n)}\) sind von Null verschieden; hieraus folgt, daß alle \(A^{(n)}\) positiv sind. Daraufhin läßt sich aus \(S\) nach dem Muster der obigen Substitution \(U_{n}\) eine Substitution (Matrize) \(U\) konstruieren, deren Zielen sich nach unten unbegrenzt fortsetzen.
Die zur Matrize \(U\) gehörige Bilinearform ist beschränkt, mit \(U\) aber auch die transponierte Matrize \(U'\); mithin existiert auch \(U'U\) und ist wiederum beschränkt. Diese quadratische Form \(U'U\) von unendlich vielen Variabeln sei mit \(S^{-1}\) bezeichnet. Nunmehr trete die weitere Voraussetzung hinzu, daß \(S\) selbst beschränkt ist. Dann aber läßt sich schließen, daß \(S^{-1}\) nicht nur existiert und beschränkt ist, sondern auch eine Resolvente von \(S\).
Bei unendlichen, beschränkten, reellen Bilinearformen kann mehr als eine Reziproke existieren, \(AX=E\), \(AY=E\), oder es kann \(A\) eine hintere Reziproke haben (\(AX=E\)), aber keine vordere. Besitzt indessen eine unendliche (reelle, beschränkte) Bilinearform sowohl eine vordere, als eine hintere Reziproke, so sind beide einander gleich und also beide die einzigen.
Eine symmetrische Bilinearform besitzt entwender gar keine Reziproke oder aber eine einzige, ebenfalls symmetrische, vorn und hinten dieselbe. Nur eine solche Reziproke soll Resolvente heißen.
Bis jetzt war die Annahme, daß \(S\) definit sei, festgehalten worden. Gerade diese Annahme bewirkt es, daß man die Existenz der Resolvente mit so geringen Konvergenzhülfsmitteln beweisen kann. Hinterher läßt sich indessen die Existenz der Resolvente einer indefiniten quadratischen und weiterhin einer beliebigen reellen, unsymmetrischen Bilinearform auf den obigen Fall zurückführen. Zu dem Behuf bilde man, wenn \(A\) eine gegebene beschränkte, reelle Bilinearform ist, die symmetrische Form \(AA'\), die in der Tat positiv-definit ist. Ist \(A\) symmetrisch, so ist damit auch die Existenz der beschränkten Resolvente erwiesen. Ist \(A\) nicht symmetrisch, so ergibt sich eine hinreichende Bedingung für die Existenz einer eindeutigen Resolvente.
Zum Schlusse wird gezeigt, wie die gefundenen hinreichenden Bedingungen für die Existenz von Reziproken auch die notwendigen sind. Somit besitzt eine reelle beschränkte Bilinearform \(A\) dann und nur dann eine hintere beschränkte Reziproke, wenn \(AA'\) nicht den Verdichtungswert \(\infty\) hat; entsprechendes gilt für die vordere Reziproke und \(A'A\), bzw. wenn beide Bedingungen zugleich erfüllt sind. Dies läßt sich im besonderen auf eine reelle, beschränkte, quadratische Form \(S\) enwenden.

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Full Text: EuDML