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The abstract form of the Abelian linear groups. (English) JFM 38.0181.02

Die Theorie der linearen Substitutionen liefert eine große Anzahl von speziellen Gruppen, deren gruppentheoretische Eigenschaften genau studiert werden können. Für viele Untersuchungen, insbesondere für die Frage nach den zwischen den Gruppen bestehenden Isomorphismen, ist es aber von Wichtigkeit, die fraglichen Gruppen, unabhängig von ihrer Darstellung durch lineare Substitutionen, als abstrakte Gruppen definieren zu können. Dies geschieht vielfach am einfachsten, in dem man nachweist, daßdie zu untersuchende Gruppe einer abstrakten Gruppe isomorph ist, die in der zuerst von Cayley angegebenen Weise durch ein System von Relationen zwischen erzeugenden Elementen definiert ist. In den beiden vorliegenden Arbeiten ist es dem Verf. gelungen, diese Aufgabe für zwei wichtige Klassen von Gruppen vollständig zu lösen. Die erste Arbeit beschäftigt sich mit der Gruppe aller linearen homogenen Substitutionen in \(n\) Variabeln, deren Determinanten gleich 1 sind. Die zweite Arbeit bezieht sich auf die beiden Gruppen linearer homogener Substitutionen in \(2m\) Variabeln, welche die alternierende Form \[ \sum_{i=1}^{m}(\xi_{i}\eta_{i+1}-\eta_{i}\xi_{i+m}) \] absolut, bzw. bis auf konstante Faktoren ungeändert lassen; die Bezichnung dieser Gruppen als lineare Abelsche Gruppen rührt bekanntlich von C. Jordan her (vgl. Dickson, Linear Groups, Leipzig 1901, S. 89). Beide Klassen von Gruppen werden unter der allgemeinen Voraussetzung behandelt, daßihre Koeffizienten einem gegebenen endlichen oder unendlichen Körper angehören sollen.

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