Diophantine approximations. An introduction to number theory. (Diophantische Approximationen. Eine Einführung in die Zahlentheorie.) (German) JFM 38.0220.15

Minkowski, H.

Mathematische Vorlesungen an der Universität Göttingen. II. Leipzig: B. G. Teubner. viii, 235 S. Mit 82 Fig. (1907).

Das vorliegende Buch bildet eine Einführung in die Zahlentheorie, wie sie in dem Minkowskischen Werke: “Geometrie der Zahlen” allgemein auseinandergesetzt ist. Es sind Vorlesungen, die der Verf. in Göttingen gehalten hat, und die elementaren Charakter aufweisen.
Gleich das erste Kapitel führt uns aus dem einfachen Prinzip, daß \((n+1)\) Punkte nur so in \(n\) Intervallen liegen können, daß wenigstens einmal zwei Punkte in demselben Intervalle liegen, zu dem Minkowskischen Satze. Derselbe wird für drei ternäre lineare Formen bewiesen.
Das zweite Kapitel knüpft an die geometrische Darstellung des Zahlengitters von zwei Dimensionen an. Mit Hülfe des Begriffes der Eichfigur wird zunächst ein erneuter Beweis des Minkowskischen Satzes für zwei binäre lineare Formen erbracht. Die Methode ist die, daß jedem Gitterpunkt als Mittelpunkte ein Parallelogramm oder allgemeiner eine konvexe Figur zugeordnet wird, die die Ebene nirgends doppelt überdeckt. Die Anwendung der so gewonnenen Sätze auf binäre Formen ergeben vor allem die sogenannten “primitiven Lösungen” derselben.
Das dritte Kapitel dasselbe für das Zahlengitter von drei Dimensionen. Hier wird jedem Punkt ein Parallelepiped oder allgemein ein konvexer Körper zugeordnet, in dessen Mittelpunkt der Gitterpunkt liegt. Diese Körper dürfen den Raum nirgends zweimal überdecken. Auch diese Sätze werden auf die Äquivalenztheorie der ternären quadratischen Formen angewendet. Damit ist zunächst der geometrische Teil abgeschlossen.
Das folgende bringt die Anwendung auf den Zahlkörper. Kap. IV führt so die Begriffe von algebraischer Zahl und ganzer Zahl ein. Die Auseinandersetzung des weitern beschränkt sich auf kubische und biquadratische Körper. Hierfür wird die Diskriminante definiert und die Existenz der Basis bewiesen. Von der Diskriminante liefert der Minkowskische Satz weitere Eigenschaften, z. B. daß ihr Wert größer als 1 ist. Die Theorie der Einheiten geht aus von den Einheitswurzeln, die als Einheiten von der Art definiert werden, daß sie mit allen konjugierten den Betrag 1 besitzen. Erst dann folgt der Dirichletsche Existenzsatz von Einheiten eines Körpers. Letzterer Beweis wird naturgemäß mittels der in Kap. III gewonnenen Anschauungen geführt. Hieran schließt sich die Idealtheorie, die ebenfalls von geometrischen Anschauungen weitgehenden Gebrauch macht. Z. B. ist die Norm eines Ideals gleich dem Volumen des Grundparallelepipeds seines Gitters. Die Theorie bringt alle wesentlichen Punkte wie Multiplikation, Division, Äquivalenz von Idealen, Endlichkeit der Klassenanzahl, Restsysteme von Idealen.
Das fünfte Kapitel schließlich bringt die Ausdehnung der Resultate des zweiten Kapitels auf den Fall, daß an Stelle der ganzen rationalen Zahlen die ganzen Zahlen der vierten oder dritten Einheitswurzeln treten. Das Gitter ist dann in Wirklichkeit ein Gitter von vier Dimensionen. Auch diese Sätze gestalten eine Anwendung auf zwei binäre lineare Formen mit komplexen Variabeln. Das Minimum derselben kann in jedem Fall bestimmt werden.

Reviewer: Fueter, Prof. (Basel)

MSC:

11-01	Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory
11Jxx	Diophantine approximation, transcendental number theory
11R16	Cubic and quartic extensions
11R27	Units and factorization
11R29	Class numbers, class groups, discriminants

JFM Section:

Dritter Abschnitt. Niedere und höhere Arithmetik. Kapitel 2. Zahlentheorie. A. Allgemeines.

Keywords:

Diophantine approximations; algebraic numbers; cubic fields; biquadratic fields