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The decomposition of modular systems connected with the doubly generalized Fermat theorem. (English) JFM 38.0238.02
Die schon am 29. Dezember 1898 vor der Chicago Section der Amer. Math. Soc. vorgetragene bildet die Fortsetzung der Arbeit “A twofold generalization of Fermat’s theorem”, über welche wir F. d. M. 27, 139, 1896, JFM 27.0139.05 berichtet haben. Es handelt sich zuerst um weitere Verallgemeinerungen des Fermatschen Satzes \(a^{p}\equiv a\) (mod. \(p\)). Die damals gegebene Verallgemeinerung \((A)\) wird “in rein arithmetischer Sprechweise” als Satz \((A',A'')\) mit Ausdehnung \((A''')\) gegeben. Wir setzen Satz \((A')\) her: In dem Integritätsbereiche \([1,y]\) sind die beiden Formen, jede vom Grade \(p^{n(k+1)}-1)/(p^{n}-1)\) in den \(k+1\) Unbestimmten \(X_{0},\dots,X_{k}\): \[ D_{k+1,n,p}[X_{0},\dots,X_{k}]=\left| X_{j}^{pni}\right|, \quad \quad (i,j=0,1,\dots,k), \] \[ P_{k+1,n,p}[X_{0},\dots,X_{k}]=\prod_{g=0,k}\prod_{a_{fgl}=0,p-1}(X_{g}+\sum_{f=0,g-1}X_{f}\sum_{l=0,n-1}a_{fgl}y^{l}) \] identisch kongruent. Auf die Wiedergabe der Sätze \((A'')\) und \((A''')\) müssen wir verzichten, weil zu viele Beziehungen erklärt werden müßten. Ebenso wenig können wir auf den zweiten Teil der Arbeit, der vom Äquivalenztheorem \((B)\) und vom Dekompositionstheorem \((C)\) handelt, näher eingehen.
MSC:
13F20 Polynomial rings and ideals; rings of integer-valued polynomials
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