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On a problem in indefinite analysis. (Über eine Aufgabe der unbestimmten Analyse.) (German) JFM 38.0246.01

Der Verf. behandelt die Auflösung der diophantischen Gleichung \[ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=x.x_{1}.x_{2}\dots x_{n} \] in ganzen rationalen Zahlen. Die Fälle \(n=1\) und 2 werden direkt behandelt: \(n=2\), jedes System \(x_{1}=x_{2}\) ist eine Lösung. Für \(n>2\) setze man \[ x_{1}'=xx_{2}\dots x_{n}-1. \] Dann ist auch \[ x_{1}'^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=x.x_{1}'.x_{2}\dots x_{n}. \] Solche Lösungen heißen zur ursprünglichen benachbart. Hieraus und aus dem Begriff Höhe \(=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\) definiert der Verf. die “Grundlösung” und findet: \((x,x_{1},\dots,x_{n})\) ist dann und nur dann Grundlösung, wenn \[ 2x_{i}^{2}\leqq x\, x_{1}x_{2}\dots x_{n} \quad \quad \quad (i=1,2,\dots,n). \] Daraus folgt: ist \(x>n\), so existiert keine Auflösung. Ist \(x=n\), so sind alle Lösungen benachbart zu \[ x_1=x_2=x_3=\cdots = x_n =1. \] Daraus kann der Verf. eine Tabelle aller möglichen Grundlösungen für \(n=3\) bis \(n=10\) berechnen. Zum Schlußweist der Verf. auf die Analogie dieser Theorie mit der Theorie der quadratischen Formen hin.

MSC:

11D09 Quadratic and bilinear Diophantine equations
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