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On arithmetic continued fractions and transcendental numbers. (Sur les fractions continues arithmétiques et les nombres transcendants.) (French) JFM 38.0249.04

Liouville hat die Bedingung angegeben dafür, daßder Kettenburch \[ a_{0}+\frac{1\hfill}{a_{1}+\tfrac{1\hfill}{a_2+\cdots}} \] eine franszendente Zahl sei, falls die \(a\) ganze rationale positive Zahlen sind. Der. Verf. dehnt diese Untersuchungen auf den Fall aus: \[ \frac{b_0}{c_0}+\frac{1\hfill}{\tfrac{b_1}{c_1}+\tfrac{1\hfill}{\tfrac{b_2}{c_2}+\cdots}}\,, \] wo wieder die \(b\) und \(c\) ganze rationale positive Zahlen sind. Er fragt, wann ein solcher Kettenburch eine transzendente Zahl festlege. Um hinreichende Bedingungen zu erhalten, geht der Verf. aus von der Klassifikation der Kettenbrüche, wie er sie früher aufgestellt (siehe F. d. M. 37, 237, 1906, JFM 37.0237.02) und durch das Symbol \((k,\varrho)\) charakterisiert hat. Die fünf ersten Theoreme geben an, wie dieses Symbol für die \(b\) und \(c\) beschaffen sein muß, damit obiger Kettenbruch eine transzendente Zahl ist. Auch divergente Kettenbrüche können zur Aufstellung von transzendenten (Liouvilleschen) Zahlen führen. Die folgenden Abschnitte enthalten die Angabe von unendlich vielen solcher Liouvilleschen Zahlen, die obigen Bedingungen genügen, also transzendent (oder auch quadratisch) sind. Schlußbehandelt den allgemeinen Kettenbruch \[ g_0+\frac{h_1}{g_1+\tfrac{h_2\hfill}{g_2+\cdots}} \] und führt ihn auf die oben behandelten Fälle zurück.

MSC:

11A55 Continued fractions
11J70 Continued fractions and generalizations
11J81 Transcendence (general theory)

Citations:

JFM 37.0237.02
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Full Text: EuDML