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Grundlagen für eine Theorie des Jacobischen Kettenbruchalgorithmus. (German) JFM 38.0262.01
Schon Jacobi hat versucht, die Lagrangeschen Sätze über periodische Kettenbrüche und quadratische Irrationalen zu verallgemeinern, d. h. einen allgemeinen Algorithmus zu finden, der, wenn periodisch, eine algebraische Zahl darstellt. Allein erst Minkowski hat dieses Problem gelöst, und zwar auf anderem Wege, als Jacobi versucht hatte (Acta Math. 26, 333-352; F. d. M. 34, 216, 1903, JFM 34.0216.00). Der Verf. der vorliegenden Arbeit geht wieder auf die Jacobischen Ansätze zurück. Er definiert den Jacobischen Algorithmus von \((n+1)\) reellen Zahlen \(x_{0},x_{1},\dots,x_{n}\), untersucht die “Störungen” desselben (d.h. wann derselbe nicht festzusetzen, wegen Unendlichwerdens eines Gliedes) und beweist bei gewissen Annahmen die Konvergenz und Eindeutigkeit des Verfahrens. Die wichtigste Frage, die nun auftritt, ist: wann ist der Algorithmus periodisch? Dieselbe führt auf die “charakteristische Gleichung”, die eine Gleichung \((n+1)\)-ten Grades ist, und der Verf. zeigt, wie dieselbe beschaffen sein muß, damit der periodische Algorithmus, aus dem sie entspringt, konvergiert. Bei reiner Periodizität lassen sich dann die Grenzwerte des Algorithmus durch eine “Hauptwurzel” der charakteristischen Gleichung rational darstellen. So gelingt es, den Hauptsatz zu beweisen, daß ein periodischer Kettenbruchalgorithmus aus \(n\) Zahlen \(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\) auf eine charakteristische Gleichung führt, deren größte positive Wurzel eine algebraische Einheit ist, deren Körper \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\) angehören müssen, daß also aus der Periodizität auch folgt, \(\alpha_{1}-\alpha_{n}\) sein algebraische Zahlen. Die Umkehrung ist aber nicht möglich. Nicht jede algebraische Zahl läßt sich in einen periodischen Kettenbruchalgorithmus entwickeln. Somit ist das Schlußresultat ein negatives.

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References:
[1] Allgemeine Theorie der kettenbruchähnlichen Algorithmen, in welchen jede Zahl aus drei vorhergehenden gebildet wird. Publ. von Heine, Journ. f. d. reine und angew. Math. 69. ? Werke Bd. 6.
[2] Zur Theorie von Jacobis Kettenbruchalgoritbmen, Journal f. d. reine und angew. Math. 75. ? Vorlesungen über die Natur der Irrationalzahlen, zehnte Vorlesung.
[3] Verhandlungen des ersten internationalen Math.-Kongresses zu Zürich 1898. ? Schriften der Königsberger phys.-ökon. Gesellschaft 38, 1897.
[4] Sulla generalisazione delle frazioni continue algebriche, Annali di mat. 19.?Di un’ estenzione dell’ algoritmo delle frazioni continue, Rendiconti dell’ Istituto Lombardo XXII, u. a. m.
[5] Vergl. die Arbeit des Verfassers: Note über die Konvergenz von Kettenbrüchen mit positiven Gliedern, Sitzungsberichte der kgl. bayr. Akademie 35, 1905.
[6] Vergl. Minkowski: Geometrie der Zahlen pag. 109.
[7] Die analoge Auffassung der Kettenbrüche schon bei Euler: De formatione fractionum continuarum, Acta Academiae Petropolitanae I, 1779.
[8] Daß das konstante Glied inf(?) nicht ?1, sondern ?b 0={\(\pm\)}1 ist, ändert an dem Gedankengang in § 11 nichts; vgl. die vorhergehende Fußnote.
[9] Siehe Pringsheim: Über die Konvergenz periodischer Kettenbrüche, Sitzungsberichte d. bayr. Akad. 1900, wo die für die Gültigkeit des fraglichen Satzes notwendigen und hinreichenden Bedingungen genau angegeben sind.
[10] Vergl. auch pag. 67.
[11] Vergl. auch pag. 67. ? Der Satz ist übrigens nur ein Spezialfall eines viel allgemeineren, den ich im Zusammenhang mit weitern Sätzen an andrer Stelle veröffentlichen werde.
[12] Über periodische Approximationen algebraischer Zahlen § 2, Acta Mathematica Bd. 26.
[13] Gauß, Disquisitiones arithmeticae 183. ? Dedekind, Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie, 4. Aufl. § 74.
[14] Abhandl. der Berliner Akademie.?Oeuvres II, pag. 609.
[15] Liouvilles Journal, Bd. 16: Sur des classes très étendues de quantités etc.
[16] Ein Kriterium für die algebraischen Zahlen, Göttinger Nachr. 1899.?Vergl. auch die pag. 69 zitierte Arbeit
[17] Siehe Geometrie der Zahlen (Leipzig 1896), § 45.?Über die fragl. Verallgemeinerung vergl. auch: Généralisation de la théorie des fractions continues: Annales de l’École Normale 1896.
[18] Über lineare Substitutionen und bilineare Formen, Journal f. d. reine und angew. Math., Bd. 84.?Weitere Literatur über diesen Gegenstand in § 10 des Artikels von Study: Theorie der gemeinen und höheren komplexen Größen, Encykl. d. math. Wiss. Bd. f.?Die Kettenbrüche sind vom Gesichtspunkt linearer Substitutionen behandelt von Veltmann: Zeitschrift f. Math. u. Phys., Bd. 32.
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