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Recherches sur la convergence des développements en fractions continues d’une certaine catégorie de fonctions. (French) JFM 38.0265.01
In seiner Dissertation vom Jahre 1892 hat der Verf. ein Prinzip angegeben, durch das eine Übersicht über die Kettenbruchentwicklungen einer durch eine (konvergente oder divergente) Potenzreihe definierten Funktion ermöglicht wird. Die Brauchbarkeit des Prinzips wird von neuem erwiesen durch die vorliegende Arbeit, den ersten Teil einer Preisschrift über das von der Pariser Akademie der Wissenschaften gestellte Thema: das Studium der Konvergenz der Kettenbrüche ist in irgendeinem wichtigen Punkte zu vervollkommenen. Die Hauptergebnisse seiner Untersuchungen hat Padé schon in einer Reihe von Publikationen kurz mitgeteilt. Ihrer und aller einschlägigen Arbeiten anderer Autoren wird in der historischen Einleitung gedacht.
Die Methode der Untersuchung besteht bekanntlich darin, daß den Näherungswerten \[ (\mu,\nu)=\frac{U_{\mu\nu}}{V_{\mu\nu}}\text{ einer Funktion } \sum_{\lambda=0}^{\infty}a_{\lambda}x^{\lambda} \] die Gitterpunkte \((\mu,\nu)\) einer Ebene zugeordnet werden, deren Abszissen \(\mu\) den Grad der Nenner \(V_{\mu\nu}\) und deren Ordinaten den Grad der Zähler \(U_{\mu\nu}\) anzeigen. Die Approximation an den Funktionswert wird dann durch eine Reihe von Näherungsbrüchen versucht, durch die in der Ebene \((\mu,\nu)\) ein einfacher gerader oder gebrochener Linienzung bestimmt ist. Insbesondere kommen die Parallelen zu den Achsen und zur Geraden \(\nu=\mu\) in Betracht.
Schon Laplace hat den Satz ausgesprochen: Wenn die \(a_{\lambda}\) einer endlichen homogenen linearen Differenzgleichung genügen, deren Koeffizienten gegebene ganze Funktionen (vom Grade \(\omega\)) sind, so genügt die erzeugende Funktion \(f(x)=\sum_{\lambda=0}^{\infty}a_{\lambda}x^{\lambda}\) einer homogenen linearen Differentialgleichung (von der Ordnung \(\omega\)) mit ganzen rationalen Koeffizienten in \(x\). Dieses Resultat wird ordnungsmäßig bewiesen und bildet die Grundlage für das folgende.
Setzt man \[ \begin{aligned} & V_{\mu\nu}=l_{0}+l_{1}x+\cdots+l_{\mu}x^{\mu},\\ & U_{\mu\nu}=k_{0}+k_{1}x+\cdots+k_{\nu}x^{\nu},\end{aligned} \] so wird \[ V_{\mu\nu}f(x)-U_{\mu\nu}= k_{\mu+\nu+1} x^{\mu+\nu+1}+k_{\mu+\nu+2} x^{\mu+\nu+2}+\cdots, \] wenn die Koeffizienten \(l\) so bestimmt werden, daß \[ V_{\mu\nu}f(x)=\sum_{\lambda=0}^{\infty}\,k_{\lambda}x^{\lambda} \] ist.
Wegen der dann stattfindenden Differenzengleichung \[ k_{m}=l_{0}a_{m}+l_{1}a_{m-1}+\cdots+l_{\mu}a_{m-\mu} \] genügt \(V_{\mu\nu}f(x)\) einer linearen Differentialgleichung, derselben Differentialgleichung, die auch das Integral \(V_{\mu\nu}f(x)-U_{\mu\nu}\) besitzt.
Sind insbesondere die Koeffizienten der Differenzengleichung für die \(a_{\lambda}\) lineare Funktionen des Index, so ist die homogene Differentialgleichung für \(f(x)\) von der ersten Ordnung, \(f^{(n)}(x)\) wird also rational durch \(f(x)\) ausdrückbar. Daher genügt \(V_{\mu\nu}f(x)-U_{\mu\nu}\) einer Gleichung von der Form \(P.f(x)+Q=0\), die sich, abgesehen vom einfachsten Fall, auf \(P=0\), \(Q=0\) reduziert. Dabei ist \(P=0\) eine Differentialgleichung für \(V_{\mu\nu}\), während in \(Q=0\) die Funktionen \(U_{\mu\nu}\) und \(V_{\mu\nu}\) nebst Ableitungen vorkommen.
Mit den entwickelten Hülfsmitteln wird die Funktion \(f(x)=\left (\frac{x+1}{x-1}\right)^{\omega}\) behandelt. Die Kettenbruchentwicklung gibt in der ganzen Ebene – außer in den Punkten des von \(+1\) bis \(-1\) gezogenen Schnittes – die Funktion wieder. Gegen die von de Montessus de Ballore gegebene Ableitung dieses Ergebnisses werden schwerwiegende Bedenken geltend gemacht. Bei der hier gegebenen Lösung tritt eine Differentialgleichung auf, die Laguerre bei anderer Gelegenheit benutzt hat. Laguerre hat nämlich das Integral derselben in Form eines Kettenbruches angegeben. Die Näherungsbrüche ordnen sich in das Schema Padés in der Weise ein, daß durch sie in der Ebene \((\mu,\nu)\) die Gitterpunkte einer zur Geraden \(\nu=\mu\) parallelen Geraden bestimmt sind.
Der Verf. stellt sich nun die Frage nach den Eigenschaften (besonders Konvergenz) anderer aus seinem Tableau abzuleitender Kettenbruchentwicklungen derselben Funktion. Nach den allegemeinen Anweisungen wird daher die lineare Differenzengleichung \[ (\alpha_{0}+\beta_{0}n)a_{n}+(\alpha_{1}+\beta_{1}n)a_{n+1}=0 \] behandelt, deren Koeffizienten lineare Funktionen des Index sind. Die Spezialisierung \(\alpha_{0}=1\), \(\beta_{0}=0\), \(\alpha_{1}=\beta_{1}=-1\) liefert die Exponentialfunktion. Die auf den verschiedensten Wegen gewonnenen Resultate verschiedener Autoren fließen hier aus einer Quelle, der linearer Differentialgleichung zweiter Ordnung, der Zähler sowohl, als auch Nenner des Näherungswertes genügen. Die Methode der Integration ist die Lösung durch bestimmte Integrale.
Die Grenzfälle \(\beta_{0}=0\) oder \(\beta_{1}=0\) werden am Schluß der Arbeit erledigt. Erstere Annahme führt nicht wesentlich über die Exponentialfunktion hinaus, während \(\beta_{1}=0\) eine Verallgemeinerung Laguerrescher und Stieltjesscher Sätze liefert: man erhält eine Funktion, die, formal entwickelt, eine überall divergente Potenzreihe ergibt, während die Kettenbruchentwicklung in der ganzen Ebene (außer in den Punkten einer Halbgeraden) konvergiert und die Funktion darstellt.
Die Ergebnisse des allgemeinen Falles \((\beta_{0} \neq 0, \beta_{1} \neq 0)\) hält der Verf. nicht für abschließend. Befriedigend sind sie nur bei den Kettenbruchentwicklungen \((\mu,\nu)\), denen die Gitterpunkte der drei oben schon erwähnten Hauptgeraden entsprechen. Bei den eingehenden Untersuchungen spielt auch die historisch berühmte Kettenbruchentwicklung der Funktion \(F(h,1,h',u)\) eine bedeutende Rolle. In dem einen Falle wird der Nenner \(V_{\mu\nu}\) des Näherungsbruches sowie die Funktion \(V_{\mu\nu}F(h,1,h',u)-U_{\mu\nu}\) durch hypergeometrische Reihen dargestellt; im zweiten Falle wird bewiesen, daß die Reihe der Näherungsbrüche für das Innere des Einheitskreises gegen \(F(h,1,h',u)\) konvergiert, außerhalb des Kreises aber divergiert; im dritten Falle findet Konvergenz statt für alle Punkte der längs \((+1\dots+\infty)\) aufgeschlitzten Ebene.
Als eine wichtige Aufgabe, deren Lösung aber bisher allen Anstrengungen des Verf. getrotzt hat, wird die Untersuchung der Reihe der Näherungsbrüche unter der Annahme bezeichnet, daß die Punkte \((\mu,\nu)\) auf Geraden liegen, deren Richtungsfaktor von \(0,1,\infty\) verschieden ist.

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