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Über einige Fälle der Sätze über die Grenzen der mathematischen Hoffnung und über die Grenzen der Wahrscheinlichkeit. (Russian) JFM 38.0274.05

In seiner Abhandlung über das Gesetz der großen Zahlen (”F. d. M. 29, 188, 1898, siehe JFM 29.0188.01 u. JFM 29.0188.02”) hat sich der Verf. auf die Voraussetzung gestützt, daß, wenn \(c_{i}\) die mathematische Hoffnung von \(x_{i}^{2},(a)(c_{1}+c_{2}+\cdots+c_{n})/n\) nicht beliebig klein werden kann, und hat an Beispielen gezeigt, daß, wenn die Bedingung nicht erfüllt ist, der Satz über die Grenze der mathematischen Hoffnung nicht erfüllt sein kann. Doch ist diese Bedingung nicht durch die Natur der Sache wohl aber durch den Gang der Betrachtungen auferlegt, und der Satz besteht auch für die Falle, bei denen das Verhältnis \((a)\) beliebig klein werden kann, wenn nur die Summe \(c_{1}+c_{2}+\cdots+c_{n}\) selbst mit \(n\) über alle Grenzen wächst (was aber, wie der Verf. an einem Beispiele schließlich zeigt, doch keineswegs eine hinreichende Bedingung der Gültigkeit des satzes bildet). – Der Satz besteht auch, falls (b) \((c_{1}^{(\alpha+1)}+ c_{2}^{(\alpha+1)}+\cdots+ c_{n}^{(\alpha+1)}): (c_{1}+c_{2}+\dots+c_{n})^{\frac{\alpha+1} {2}}[c_{k}^{(\alpha)}\) mathematische Hoffnung von \(| x_{k}^{\alpha}|]\) für jede ganze Zahl \(\alpha>1\) sich der Grenze 0 zugleich mit \(1/n\) nähert.

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