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On certain oscillating series. (English) JFM 38.0293.01

Wenn \(b_{0},b_{1},b_{2},\dots,c_{0},c_{1},c_{2},\dots\) zwei divergente Reihen positiver Glieder sind, so folgt aus \[ (b) \quad \lim_{n} \;\frac{b_{0}s_{0}+ b_{1}s_{1}+\cdots+ b_{n}s_{n}}{b_{0}+b_{1}+\cdots+b_{n}}=s \quad: \quad (c) \quad \lim_{n}\;\frac{c_{0}s_{0}+c_{1}s_{1}+\cdots+c_{n}s_{n}}{c_{0}+c_{1}+\cdots+c_{n}}=s, \] wo \(s_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\) ist, wenn entweder \(c_{n}:b_{n}>c_{n+1}:b_{n+1}\) oder \(c_{n}:b_{n}<c_{n+1}:b_{n+1}\) und \((b_{0}+b_{1}+\cdots+b_{n}):b_{n}<K(c_{0}+c_{1}+\cdots+c_{n}):c_{n}\) für alle Werte von \(n\) ist.
Anwendungen: Es seien alle \(b_{\nu}=1\). Ist \(\sum a_{n}\) nach Cesàros Methode summierbar mit der Summe \(s\), so ist die Gleichung (c) erfüllt, wenn entweder \(\sum c_{n}\) divergent und \(c_{n+1}<c_{n}\) oder \(c_{n+1}>c_{n}\) und \((c_{0}+c_{1}+\cdots+c_{n}):c_{n}>Kn\) ist. 1) Wenn z. B. \(a_{n}=(-1)^{n}\) ist, so ist \(s_{2m}=1\), \(s_{2m+1}=0\) und \(\lim[(c_{0}+c_{2}+\cdots+c_{2m}):(c_{0}+c_{1}+c_{2}+\cdots+c_{2m})]=\frac{1}{2}\). – 2) Wenn \(c_{n}=2n+1\) ist, so ist \(c_0+c_1+\cdots + c_n=(n+1)^2\), wenn dann \(\sum a_n\) summierbar ist, so ist für \(n=\infty\lim[(s_{0}+3s_{1}+5s_{1}+\cdots+(2n+1)s_{n}):(n+1)^{2}]=s\).– 3) Wenn \(c_{n}=2^{n}\) ist, so ist \(c_{0}+c_{1}+\cdots+c_{n}=2^{n+1}-1\); geht man von der Reihe \(1-1+1-1\cdots\) aus, so ist \(\lim[(c_{0}s_{0}+c_{1}s_{1}+\cdots+c_{n}s_{n}):(c_{0}+c_{1}+\cdots+c_{n})]\) gleich 2:3 oder 1:3, je nachdem \(n\) gerade oder ungerade ist.
Es seien alle \(c_{\nu}=1\). Dann ist \(\sum a_{n}\) summierbar, wenn die Gleichung (b) erfüllt ist und \(\sum b_{n}\) eine divergente Reihe von der Art bedeutet, daßentweder \(b_{n+1}>b_{n}\) oder \(b_{n+1}<b_{n}\) und \((b_{0}+b_{1}+\cdots+b_{n}):b_{n}<Kn\) ist.
Es sei \(\sigma_{n}\) die Summe von \((n+1)\) Gliedern der Reihe \(a_{0}+a_{1}+0+0+a_{2}+0+0+0+0+a_{2}+\cdots\), so ist \(\sigma_{0}=s_{0}\), \(\sigma_{1}=s_{1}=\sigma_{2}=s_{2}\), \(\sigma_{4}=s_{2}=\sigma_{5}=\cdots=\sigma_{8}\), \(\sigma_{9}=s_{2}=\cdots\), und wenn \(\sum a_{n}\) die Summe \(s\) hat, so ist die Grenze von \[ (\sigma_{0}+\sigma_{1}+\cdots+\sigma_{\nu^{2}-q}):\nu^{2}=[s_{0}+3s_{1}+5s_{2}+\cdots+(2\nu-1)s_{\nu-1}]:\nu^{2} \] für \(\nu=\infty\) gleich \(s\), und wenn \(0\leqq q\leqq 2\nu+1\) ist, so ist die Grenze von \(\sigma_{0}+\sigma_{1}+\cdots+\sigma_{\nu^{2}+q}):(\nu^{2}+q+1)\) gleich \(s\) für \(\nu=\infty\).
Die Funktion \(F_{a}(x)=x-x^{a}+x^{a^{2}}-\cdots\), wo \(a\) eine Zahl bedeutet, die größer als 2 ist, kann durch \(\theta_{a}(x)+\varPhi_{a}(x)\) dargestellt werden, wo \[ \varPhi_{a}(x)=\sum_{0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\left\{\log(1/x)\right\}^{n}}{n!(1+a^{n})}, \quad \theta_{a}(x)=\varTheta_{a}\left\{\log\log(1/x)\right\} \] ist; daher ist \(\theta_{a}(x)\) eine periodische Funktion von \(\log\log\left (\frac{1}{x}\right )\) mit der Periode \(2\log a\), \(\theta_{a}(x)\) oszilliert demnach für \(x=1\).
\(F_{a}(x)\) ist die Summe con zwei Funktionen, von denen die eine für \(x=1\) gegen die Grenze \(\frac{1}{2}\) konvergiert, während die andere oszilliert, daher oszilliert \(F_{a}(x)\) selbst. Setzt man \(x=re^{i\theta}\), \(\log(1/x)=\log(1/r)-i\theta\), wo \(-\pi<\theta<\pi\) ist, und macht man den Logarithmus einwertig durch einen Schnitt längs der negativen reellen Achse, so ergibt sich in dem so definierten Bereich für \(F_{a}(x)\) die Form \[ \sum_{0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\left\{\log\frac{1}{x}\right\}^{n}}{1+a^{n}}+\frac{1}{\log a}\sum_{-\infty}^{\infty}\varGamma\left\{-\frac{(2k+1)\pi i}{\log a}\right\}\left\{\log\frac{1}{x}\right\}^{\frac{(2k+1)\pi i}{\log a}}. \] Für \(x+x^{a}+x^{a^{2}}+\cdots\) ergibt sich der Ausdruck \[ \sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}\left\{\log\frac{1}{x}\right\}^{n}}{n!(a^{n}-1)}-\frac{1}{\log a}\log\log\left (\frac{1}{x}\right )+\frac{1}{2}-\frac{\gamma}{\log a}\sum'\varGamma\left (-\frac{2k\pi i}{\log a}\right )\left\{\log\frac{1}{x}\right\}^{\frac{2k\pi i}{\log a}}, \] wo \(\sum'\) bedeutet, daßdie Summation sich auf alle Werte von \(k\) außer \(k=0\) bezieht.
Die Reihe \(\frac{1}{1+x}-\frac{1}{1+ax}+\frac{1}{1+a^{2}x}-\cdots\) oszilliert, wenn \(x\) längs der positiven reellen Achse gegen Null konvergiert; sie ist gleich der Summe einer Funktion, die gegen \(\frac{1}{2}\) konvergiert für \(x=0\), und einer periodischen Funktion von \(\log x\).
Die Doppelreihe \(\sum_{1}^{\infty}\sum_{1}^{\infty}\frac{y^{n}a^{-mn}}{n!}=\sum_{m=1}^{\infty}(e^{ya^{m}}-1)\) ist konvergent.

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