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On {\it Vandermonde}’s theorem, and some more general expansions. (English) JFM 38.0313.01
Die übliche Form des {\it Vandermonde}schen Theorems: $$(1) \quad \quad \quad \left ({p+q}\atop{s}\right )=\left ({p}\atop{s}\right )+\left ({p}\atop{s-1}\right )\left ({q}\atop{1}\right )+\cdots+\left ({q}\atop{s}\right )$$ dividiere man durch $\left({p}\atop{s}\right)$, setze $\alpha$ für $q$, $s+\gamma$ für $p$; dann geht (1) über in $$(2) \quad \quad \frac{(\alpha+\gamma+1)(\alpha+\gamma+2) \dots(\alpha+\gamma+s)}{(\gamma+1)( \gamma+2)\dots(\gamma+s)}=1+\frac{\alpha . s}{1.(\gamma+1)}+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdot s(s-1)}{1\cdot 2\cdot(\gamma+1)(\gamma+2)}+\cdots.$$ Wenn sowohl $\alpha$, als auch $s$ positive ganze Zahlen sind, ist die linke Seite von (2) symmetrisch in $\alpha$ und $s$; auf diese Symmetrie und auf die Bedingungen für die Identität zweier rationalen ganzen Funktionen dessenben Grades gründet sich der Beweis für jedes $\alpha$ ganz einfach mittels der mathematischen Induktion. Die Methode wird verallgemeinert; indem $s$ immer eine positive ganze Zahl ist, wird also die Funktion $$\frac{(\alpha+\gamma+1)\dots(\alpha+\gamma+s)}{(\gamma+1)\dots(\gamma+s)} \times\frac{(\beta+\gamma+1)\dots(\beta+\gamma+s)}{(\alpha+\beta+\gamma+1) \dots(\alpha+\beta+\gamma+s)}$$ in der Form entwickelt: $$1+A_{1}\frac{\alpha s}{\alpha+\beta+\gamma+s}+A_{2}\frac{\alpha(\alpha-1).s(s-1)}{(\alpha+\beta+\gamma+s)(\alpha+\beta+\gamma+s-1)}+\cdots,$$ wo die Koeffizienten $A_{1},A_{2},\dots$ unabhängig von $s$ und $\alpha$ sind; in der Tat ist $$A_{n}=\frac{\beta(\beta-1)\dots(\beta-n+1)}{1.2\dots n(\gamma+1)(\gamma+2)\dots(\gamma+n)}.$$ Hiervon werden Anwendungen auf die hypergeometrische Reihe gemacht; auch werden manche anderen Entwickelungen von noch allgemeinerer Form behandelt. Unter den besonderen Fällen befindet sich eine Formel für die Summe der Kuben der Koeffizienten für die Reihenentwickelung von $(1-x)^{-c}$ (Lond. M. S. Proc. 35, 284; F. d. M. 34, 490, 1903, JFM 34.0490.02). Einige Verallgemeinerungen der Ergebnisse werden mit Hülfe des {\it Cauchy}schen Residuenkalküls erhalten.
Reviewer: Gibson, Prof. (Glasgow) (Lampe, Prof. (Berlin))

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