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Über die Multiplikation Dirichletscher Reihen. (German) JFM 38.0322.01
Unter einer Dirichletschen Reihe versteht man die Reihe \[ \sum_{n=1}^{\infty}\;\frac{a_{n}}{n^{s}}\,, \] wo die \(a_{n}\) gegebene komplexe Konstanten, \(s\) eine komplexe Variable und \(n^{s}=e^{s\text{\,lg\,}n}\) für den reellen Wert des Logarithmus ist. Der Verf. stellt sich das Problem: Es seien 2 solche Reihen: \[ (1)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{n^{s}} \quad \text{und} \quad (2) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_{n}}{n^{s}} \] für \(R(s)>\sigma\) konvergent. In welchem Bereich ist das Produkt derselben oder die Dirichletsche Reihe: \[ (3) \quad \quad =\frac{a_{1}b_{1}}{1^{s}}+\frac{a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{2^{s}}+\frac{a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}}{3^{s}}+\frac{a_{1}b_{4}+a_{2}b_{2}+a_{4}b_{1}}{4^{s}}+\cdots \] konvergent? Das erste Resultat lautet, wenn außer den Reihen (1) und (2) auch die Reihe \[ \sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{a_{n}}{n^{s}}\right| \] konvergiert, so konvergiert (3) und ist gleich dem Produkt der Summen von (1) und (2). Dieser Satz erlaubt mannigfaltige Anwendungen auf die zahlentheoretischen Funktionen. Der Verf. geht dann zum Beweis der Stieltiesschen Konvergenzsätze über, deren einen er wesentlich erweitert: Es sei (1) für \(s=\varrho\) konvergent, für \(s=\varrho+\tau\) absolut konvergent, (2) für \(s=\varrho'\) konvergent, für \(s=\varrho'+\tau'\) absolut konvergent. Dann konvergiert (3) für \[ s=\frac{\varrho\tau'+\varrho'\tau+\tau\tau'}{\tau+\tau'}. \]
Für Dirichletsche Reihen gilt auch das Analogon zum Abelschen Satze: Konvergiert (1), (2) und (3) für \(R(s)>\sigma\), so ist für diesen Bereich \[ (1).(2)=(3). \] Ist \(\gamma_{n}\) das \(n\)-te Glied von (3), so ist eine hinreichende Bedingung der Konvergenz von (3) gegeben durch \(\lim_{n=\infty}n\text{\,lg\,}n\gamma_{n}=0\). Die folgenden Paragraphen wenden diese Theorie auf die nachstehenden zahlentheoretischen Probleme an: Darstellung der Anzahl der Idealklassen eines algebraischen Zahlkörpers. Relation der Anzahl \(\varrho(n)\) der Primfaktoren von \(n\). Beweis der Formel \[ \sum_{n=1}^{\infty}\;\frac{\mu(n)\varrho(n)}{n}=0. \] Das analytische Verhalten von \(\sum_{(p)}x^{p}\) und \(\sum_{(p)}\frac{1}{p^{s}}\).

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References:
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[3] Multiplication of Series [Bulletin of the New York Mathematical Society, Bd. I (1892), S. 184– 189];On the Multiplication of Semi-convergent Series [American Journal of Mathematics, Bd. XV (1893), S. 339–343];The Multiplication of Semi-convergent Series [Bulletin of the American Mathematical Society, Bd. I (1895), S. 180–183];On the Multiplication and Involution of Semi-convergent Series [American Journal of Mathematics, Bd. XVIII (1896), S. 195–209];Divergent and conditionally convergent series whose product is absolutely convergent [Transactions of the American Mathematical Society, Bd. II (1901), S. 25–36];The Application of the Fundamental Laws of Algebra to the Multiplication of Infinite Series [Bulletin of the American Mathematical Society, Bd. VIII (1902), S. 231–236];Series Whose Product is Absolutely Convergent [Bulletin of the American Mathematical Society, Bd. IX (1903), S. 188–194].
[4] Ueber die Multiplicationsregel für zwei unendliche Reihen [Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. LXXIX (1875), S. 182–184].
[5] Note sur la multiplication de deux séries [Nouvelles Annates de Mathématiques, Ser. III, Bd. VI (1887), S. 210–215], S. 210–213.
[6] Vergl. meine ArbeitenÜber die zahlentheoretische Funktion \(\mu\) (k) [Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse, Bd. CXII (1903), Abt. IIa, S. 537–570] undÜber die Verteilung der Primideale in den Idealklassen eines algebraischen Zahlkörpers [Mathematische Annalen, Bd. LXIII (1907), S. 145–204].
[7] Reeksen afgeleid uit de reeks \(\sum {\frac{{\mu (m)}}{m}} \) [Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Verslag van de Gewone Vergaderingen der Wisen Natuurkundige Afdeeling, Bd. XII (1903), s. 432–439] · JFM 34.0307.05
[8] Introductio in analysin infinitorum (Lausanne, 1748), Bd. I, S. 229. · Zbl 1063.01009
[9] 1. c, S. 244.
[10] Sur la fonction \(\zeta\)(s) de Riemann et sur des fonctions analogues [Annales scientifiques de l’École Normale supérieure, Ser. III, Bd. XI (1894), S. 75–164], S. 86–87.
[11] 1. c, S. 245.
[12] 1. c, S. 245.
[13] 1. c, S. 246.
[14] Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie [Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. LXXVIII (1874), S. 46–62].
[15] 1. c, S. 56 und 61.
[16] Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen [Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. IX (1832), S. 105–123], S. 123;Gesammelte Werhe, Bd. IV (1887), S. 612.
[17] Sur le rôle arithmétique de sin \(\frac{{\dot \pi {\mathrm{x}}}}{{\mathrm{2}}}\) [Annali di Matematica pura ed applicata, Ser. II, Bd. XIII (1885), S. 315–322]. Diese Arbeit ist auch in dem SammelbandExcursions arithmétiques à l’infini (Paris, Hermann, 1885) auf S. 81–88 abgedruckt.
[18] 1. c, S. 318 bezw. 84.
[19] 1. c, S. 319 bezw. 85.
[20] 1. c, S. 319 bezw. 85.
[21] Vergl. die in Anm. 15 genannte Arbeit, S. 79.
[22] 1. c, S. 319 bezw. 85.
[23] 1. c, S. 319 bezw. 85.
[24] 1. c., S. 321 bezw. 87.
[25] Vergl. die in Anm. 20 genannte Arbeit, S. 438–439.
[26] 1. c., S. 321 bezw. 87.
[27] 1. c., S. 317 bezw. 83.
[28] 1. c., S. 317 bezw. 83.
[29] Vergl. Anm. 38.
[30] Ernest Cesàro,1859–1906 [L’Enseignement Mathématique, Bd. IX (1907), S. 5-23], S. 12.
[31] Z. B. geht seiner ArbeitSull’uso dell’integrazione in alcune questioni d’aritmetica [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Bd. I (1887), S. 293–298], in welcher er auf unrichtigem Wege zu den Gleichungen (21) und (22) gelangt, das vonHerrn J. Tannery stammende Motto voran: “Même en mathématiques c’est souvent par des chemins peu sûrs qu’on va à la découverte”.
[32] Bd. XVIII (1907), S. 129–130.
[33] Dies ist der “IIème théorème” inTschebyschef’s AbhandlungSur la fonction qui détermine la totalité des nombres premiers inférieurs à une limite donnée [Mémoires présentés á l’Académie Impériale des Sciences de St.-Pétersbourg par divers savants, Bd. VI (1851); Journal de Mathématiques pures et appliquées, Ser. I, Bd. XVII (1852);OEuvres, Bd. I (1899)].
[34] Dies Ergebnis liegt im § 9 vonTschebyschef’s Mémoire sur les nombres premiers [Journal de Mathématiques pures et appliquées, Ser. I, Bd. XVII (1852); Mémoires présentés à l’Academie Impériale de St.-Pétersbourg par divers savants, Bd. VII (1854);OEuvres, Bd. I (1899)].
[35] Nuova contribuzione ai principii fondamentali dell’aritmetica assintotica [Atti della R. Accademia delle Scienze fisiche e matematiche di Napoli, Serie II, Bd. VI (1894), No. 11, S. 1-23], S. 23.
[36] 1. c, S. 152 bezw. S. 358 bezw. S. 43.
[37] Sul numero dei numeri primi inferiori ad un dato limite [Giornale di Matematiche, Bd. XXXIV (1896), S. 14–20].
[38] 1. c, S. 23.
[39] Sur une formule empirique de M. Pervouchine [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences (Paris), Bd. CXIX (1894), S. 848–849].
[40] Sur la fonction \(\zeta\) (s) de Riemann et le nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée [Mémoires courormés et autres mémoires publiés par l’Académie Royale de Belgique, Bd. LIX (1899), S. 1–74].
[41] Sur la distribution des zéros de la fonction \(\zeta\) (s) et ses conséquences arithmétiques [Bulletin de la Société Mathématique de France, Bd. XXIV (1896), S. 199–220].
[42] Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers [Annales de la Société Scientifique de Bruxelles, Bd. XX, Teil II (1896)], S. 183–256 und S. 360–361.
[43] Vergl. die in Anm. 63 zitierte Arbeit, S. 20–21.
[44] Vergl. die in Anm. 32 zitierte Arbeit, S. 53.
[45] Sur une loi asymplotique dans la thèorie des nombres [Comptes rendus hebdomadaires des séauces de l’Académie des Sciences (Paris), Bd. CI (1885), S. 368–370], S. 369.
[46] Vergl. die in Anm. 7 zitierte Arbeit, S. 215.
[47] Über den Zusammtnhang einiger neuerer Sātze der analytischen Zahlentheorie [Sitzungsberichte der Kaiserl. Akademie der Wissenschaften in Wien, mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse, Bd. CXV (1906), Abt. IIa, S. 589–632], S. 606–608.
[48] Über eine zahlentheoretische Function [Sitzungsberichte der Kaiserl. Akademie der Wissenschaften in Wien, mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse, Bd. CVI (1897), Abt. IIa, S. 761–830], S. 766–775.
[49] Vergl. die in Anm. 24 zitierte Arbeit, S. 100.
[50] 1. c, S. 100–101.
[51] Vergl. S. 192–193 seiner in Anm. 70 zitierten Arbeit.
[52] 1. c, S. 82–84.
[53] 1. c, S. 93–94 und S. 100.
[54] Notiz über Potenzreihen [Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Jahrgang 1878, S. 53–58], S. 54.
[55] 1. c, S. 93–96 und 102–103.
[56] Éléments de. la thèorie des nombres (Paris, 1900), S. 323.
[57] 1. c, S. 114–118.
[58] Sur un problême du calcul des fonctions asymptotiques [Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. CXXVI (1903), S. 241–282].
[59] 1. c, S. 102.
[60] Vergl. meine ArbeitÜber die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen [Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Klasse der Königl. Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Bd. XXXVI (1906), S. 151–218].
[61] Sur la multiplication de deux series de factorielles [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, Bd. XIII, 1. Semester, 1904, S. 70–77];Les séries de factorielles tt les opérations fondamentales [Mathematische Annalen, Bd. LIX (1904), S. 355–376] (hier ist nur auf S. 362–363 der Satz ohne Beweis unter Bezugnahme auf die vorige Arbeit ausgesprochen);Handbuch der Theorie der Gammafunktion (Leipzig, 1906), § 99, S. 252–254.
[62] 1. c., S. 74 bezw. S. 254.
[63] 1. c, S. 74 bezw. S. 254.
[64] Bulletin de la Société Mathématique de France, Bd. XXXIII (1905), S. 229–241.
[65] Ueber die Theorie der Hadamard ’schen Funktionen und ihre Anwendung auf das Problem der Primzahlen (Göttingen, 1898), S. 60–63.
[66] Sulla totalità dei numeri primi fino a un limite assegnato [Atti della R. Accademia delle Scienze fisiche e matematiche di Napoli, Ser. II, Bd. XI, No. 1 (1901), S. 1–222], S. 110–112.
[67] Sur la multiplication des séries [Bulletin des Sciences Mathématiques, Ser. II, Bd. XIV (1890), Teil I, S. 114–120], S. 114–116; vergl. audi seinElementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der Infinitesimalrechnung, deutsch herausgegeben vonHerrn Kowalewski (Leipzig, 1904), S. 165.
[68] Über einen Satz von Herrn Phragmén [Acta Mathematica, Bd. XXX (1906), S. 195–201]. · JFM 37.0424.01
[69] Sur les sèries de Dirichlet [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences (Paris), Bd. CXXVIII (1899), S. 1310–1311].
[70] Über die Konvergenz einiger Klassen von unendlichen Reihen am Rande des Konvergenzgebietes [Monatshefte für Mathematik und Physik, Bd. XVIII (1907), S. 8–28], S. 9. · JFM 38.0295.01
[71] Vergl. S. 208–218 meiner in Anm. 93 zitierten Arbeit. Die dort mitI”’, II”’ bezeichneten undHerrn Pincherle zugeschriebenen Sätze waren übrigens schon vor ihm in einer Abhandlung vonHerrn Mittag-Leffler Sur la représentation analytique d’une branche uniforme d’une fonction monogène (Quatrième note) [Acta mathematica, Bd. XXVI (1902), S. 353–391], S. 376–377 auf einem vonHerrn Phragmién angegebenen Wege bewiesen werden.
[72] Leipzig, 1899.
[73] Über die Darstellung der Anzahl der Idealklassen eines algebraischen Körpers durch eine unendliche Reihe [Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. CXXVII (1904), S. 167–174].
[74] Ueber einen in der Zahlentheorie angewandten Satz der lntegralrechnung [Nachrichten der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch - physikalische Klasse, Jahrgang 1896, S. 275–281];Ueber Zahlengruppen in algebraischen Kōrpern. (Zweite Abhandlung) [Mathematische Annalen, Bd. XLIX (1897), S. 83–100], S. 89–94.
[75] Bemerkungen zu Herrn D. N. Lehmer’s Abhandlung in Bd. 22 dieses Journals, S. 293-335 [American Journal of Mathematics, Bd. XXVI (1904), S. 209–222].
[76] Sur les séries entières à coefficients entiers [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences (Paris), Bd. CXXXVIII (1904), S. 342–344], S. 343–344.
[77] Vergl. S. 62 seiner in Anm. 32 zitierten Abhandlung.
[78] 1. c, S. 344.
[79] Auf S. 102 der AbhandlungUeber die zu einem algebraischen Zahlkōrper gehörige Zetafunction und die Ausdehnung der Tschebyschef ’schen Primzahlentheorie auf das Problem der Vertheilung der Primideale [Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. CXXV (1903), S. 64–188].
[80] S. 102–104.
[81] Sur les points singulurs d’une fonction donnée par son déloppement en série et l’impossibilité du prolongement analytique dans des cas très généraux [Annales Scientifiques de l’École Normale supérieure, Ser. III, Bd. XIII (1896), S. 367–399], S. 381–382;Sur les séries de Taylor qui ont une infinité de points singuliers [Acta mathematica, Bd. XXII (1899), S. 65–87], S. 86.
[82] Über die Nicht-Fortsetzbarkeit gewisser Potenzreihen [Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Klasse der Königl. Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Bd. XXXIV (1904), S. 63–74], S. 70.
[83] Vergl.Faber,Über Potenzreihen mit unendlich vielen verschwindenden Koeffizienten [Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Klasse der Königl. Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Bd. XXXVI (1906), S. 581–583], S. 58,.
[84] Vergl. S. 102 meiner in Anm. 128 erwähnten Abhandlung.
[85] 1. c, S. 104–105.
[86] Benaderings formules betreffende de priemgetallen beneden eene gegeven grens [Koninglijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Verslag van de Gewone Vergaderingen der Wis- en Natuurkundige Afdeeling, Bd. VIII (1900), S. 672–682], S. 678, Fussnote 2.
[87] Zu Riemann’s Abhandlung “Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse” [Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. CXIV (1895), S. 255–305], S. 255–273. Übrigens hatHerr von Mangoldt neuerdings in (133)O (log2 t) durch O (logt) ersetztZur Verteilung der Nullstellen der Riemann’schenFunktion \(\xi\) (t) [Mathematische Annalen, Bd. LX (1905), S. 1–19], S. 1–11; doch ist für den vorliegenden Zweck bereits die Schärfe von (133) nicht erforderlich.
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