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Sull’ integrazione per serie. (Italian) JFM 38.0338.01

\(\varSigma u_{n}(x)\) sei in der Punktmenge \(G\) konvergent. \(G\) habe ein endliches Maß im Lebesgueschen Sinne. Die Funktionen \(u_{n}(x)\) seien in \(G\) beschränkt und integrierbar (im Lebesgueschen Sinne).
Wenn in jeder meßbaren Untermenge \(\varGamma\) von \(G\) \[ \sum_{n=1}^{\infty}\int_{\varGamma}u_{n}(x)dx \quad \text{und} \quad \int_{\varGamma}\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x)dx \] existieren und gleich sind, so nennt Verf. die Reihe \(\varSigma u_{n}(x)\) vollständig gliedweise integrierbar. Er gibt eine notwendige und hinreichende Bedingung für das Eintreten dieser Eigenschaft.

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References:

[1] Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives, parHenri Lebesgue [Paris, Gauthier-Villars, 1904] eG. Vitali,Sui gruppi di punti [questi Rendiconti, t. XVIII (1904), pp. 116–126].
[2] G. Vitali,Sulk funzioni integrali [Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino, vol. XL (1904–905), pp. 1021–1034.
[3] v.H. Lebesgue, 1. c, pag. 116.
[4] Lebesgue, 1. c., pag. 114.
[5] B. Levi,Sopra l’integrazione delle serie [Rend, del R. Ist. Lombardo, s. II, vol. XXXIX (1906), pp. 775–780]. · JFM 37.0424.03
[6] Lebesgue, 1. c, pag. 109.
[7] Lebesgue, 1. c, pag. 114.
[8] Lebesgue, 1. c, pag. 116.
[9] Cfr.C. Arzela,Sulle serie di funzioni [Mem. Acc. Bologna, s. V, t. VIII (1899–1900), pp. 3–58, 91–134] e G.Vitali,Sopra le serie di funzioni analitiche [Annali di Matematica, s. III, t. X (1904), pp. 65–82].
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