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Sur les conditions d’intégrabilité complète de certains systèmes différentiels. (French) JFM 38.0367.01

In einer früheren Abhandlung (Acta Math. 23, 203-331; F. d. M. 31, 302-306, 1900, JFM 31.0302.04) hat Verf. die Definition der “orthonomen Systeme” formuliert und ein System von notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür aufgestellt, daßeine solches Systeme vollständig integrabel ist. An Stelle dieser Regel setzt Verf. nun in der vorliegenden Arbeit eine andere, welche den doppelten Vorzug besitzt, in sehr vielen Fällen bedeutend einfacher zu sein und sich auf viel allgemeinere Differentialsysteme anwenden zu lassen. – Verf. betrachtet ein Differentialsystem, welches in bezug auf gewisse (Haupt-) Ableitungen der unbekannten Funktionen, die darin enthalten sind, aufgelöst ist, und teilt den unabhängigen Veränderlichen entsprechende Marken zu, die alle gleich 1 sind (vgl. Acta Math. 25, 297-357; F. d. M. 33, 354, 1902, JFM 33.0354.01), und den unbekannten Funktionen ebenfalls entsprechende Marken (positiv, Null oder negativ); alsdann gestattet die Anwendung eines ganz elementaren Prozesses, den Anfangsbedingungen in der oben für das System selbst angegebenen Form und bezeichnet alsdann mit \(\delta\) die kleinste Marke der linken Seiten des vorgelegten Systems, mit \(\varGamma\) die größte Marke der linken Seiten der Anfangsbedingungen; endlich werden in Gedanken den Gleichungen des Systems alle diejenigen hinzugefügt, welche sich daraus durch einfache Differentiationen ableiten lassen, und das aus dieser Adjunktion resutierende unbegrenzte System wird nach den wachsenden Marken \(\delta+1\), \(\delta+2\), \(\delta\),\(\dots\) in endliche Gruppen \(S_{\delta},S_{\delta+1},S_{\delta+2},\dots\) geteilt. – Nach diesen Präliminarien stellt Verf. folgenden Satz auf: “Ein Differentialsystem möge der doppelten Bedingung genügen: 1) Das System ist in bezug auf gewisse Hauptableitungen der unbekannten Funktionen aufgelöst; keine linke Seite ist Ableitung einer anderen, und die rechten Seiten enthalten keine Hauptableitung. 2) Teilt man in allen Gleichungen des Systems den unabhängigen Veränderlichen die Marke 1 und den unbekannten Funktionen entsprechende, geeignet gewählte Marken (positiv, Null oder negativ) zu, so enthält jede rechte Seite außer den unabhängigen Veränderlichen nur Größen (unbekannte Funktionen und Ableitungen), deren Marke die der entsprechenden linken Seite nicht überstetig. – Wenn diese beiden Bedingungen erfüllt sind und außerdem gewisse Ungleichungen, welche die numerischen Werte der unabhängigen Veränderlichen, der unbekannten Funktionen und einiger ihrer parametrischen Ableitungen betreffen, so ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daßdas vorgelegte System vollständig integrabel ist, die, daßnach Elimination der mit einer der Marken \(\delta,\delta+1,\dots,\varGamma+1,\varGamma+2\) versehenen Hauptableitungen aus den Gruppen \(S_{\delta},S_{\delta+1}\dots,S_{\varGamma+1},S_{\varGamma+2}\) die resultierenden Relationen identisch, d. h. für alle numerischen Werte der unabhängigen Veränderlichen, der Funktionen und ihrer parametrischen Ableitungen, erfüllt sind.” – In dem Falle, wo die Hauptableitungen zu ganz verschiedenen unbekannten Funktionen gehören, braucht keine Integrabilitätsbedingung erfüllt zu werden, und in dem Falle, wo das vorgelegte System orthonom ist, keine Ungleichung. – An einfachen Beispielen erläutert Verf. den Vorzug der neuen gegenüber der alten Methode, wie er aus der Betrachtung der Hauptableitungen sich ergibt.
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Full Text: DOI Numdam EuDML