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Sur la détermination des intégrales des équations linéaires aux dérivées partielles par les valeurs des dérivées normales sur un contour. (French) JFM 38.0399.02

Zu dieser Arbeit vergleiche man die Noten des Verf. C. R. 143, 801-803 und C. R. 142, 1459-1462, Ann. de l’Éc. Norm. (3) 23, 509-516 (F. d. M. 37, 376-378, 1906, JFM 37.0376.01). Lindeberg hat in den Ann. de l’Éc. Norm. (3) 18, 127-142 (F. d. M. 32, 367, 1901, JFM 32.0367.03) mit der Methode der sukzessiven Annäherungen die Integration der Gleichung \[ \frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}=f(x,y)V \] gegeben unter der Voraussetzung, daß \(f\) in einem von einer Kurve \(C\) begrenzten Gebiete \(A\) positiv ist, daß die nach der inneren Normale von \(C\) genommene Ableitung \(\partial V/\partial n\) längs \(C\) gegeben, und daß \(V\) in \(A\) stetig ist. Verf. zeigt, daß dasselbe Problem aufanderem Wege für jede Gleichung des elliptischen Typus gelöst werden kann. Er behandelt also die Aufgabe: Gegeben ist die Gleichung \[ \frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}+\lambda\left (a\;\frac{\partial V}{\partial x}+b\;\frac{\partial V}{\partial y}+cV\right )=0, \] wo \(a,b,c\) Funktionen von \(x\) und \(y,\lambda\) ein konstanter Parameter ist. Man soll das stetige Integral dieser Gleichung finden, welches in jedem Punkte einer Kurve \(C\) die Gleichung \(\partial V/\partial n+kV=h\) erfüllt, wenn \(k\) und \(h\) Funktionen des Ortes dieser Kurve sind. Die Aufgabe hat im allgemeinen eine und nur eine Lösung. Nur für gewisse Werte von \(\lambda\) können Ausnahmen eintreten.

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Full Text: DOI Numdam EuDML