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Sulle equazioni lineari totalmente ellittiche alle derivate parziali. (Italian) JFM 38.0402.01
Es handelt sich um die lineare partielle Differentialgleichung \[ F(z)\equiv\varLambda(z)+\sum_{i,k}^{}B_{ik}(x,y)\frac{\partial^{i+k}z}{\partial x^{i}\partial y^{k}}=F(x,y) \quad \quad (i+k\leqq 2n-1),\tag{1} \] wo \[ \varLambda(z)=\sum_{l+m=2n}^{}a_{lm}(x,y)\;\frac{\partial^{2n}z}{\partial x^{l}y^{m}}\,. \] Die Koeffizienten sind in einem Bereiche \(C\) der Ebene \(x,y\) nebst ihren Ableitungen bis zu einer genügend hohen Ordnung endliche und stetige Funktionen; \[ G(u)\equiv\varLambda(u)+ \sum_{i,k}^{}b_{i,k}\;\frac{\partial^{i+k}u}{\partial x^{i}\partial y^{k}}=0\tag{2} \] ist die zu (1) adjungierte Gleichung. Wenn dann \(z\) und \(u\) nebst ihren Ableitungen bis zur \(2n\)-ten Ordnung in einem im Innern von \(C\) gelegenen Gebiete \(\varGamma\) mit der Begrenzung \(\gamma\) endlich und stetig existieren, so hat man \[ \iint_{\varGamma}[uF(z)-zG(u)]dx\,dy=\int_{\gamma}[M\,dy-N\,dx],\tag{3} \] wo \(M\) und \(N\) bilineare Ausdrücke in \(z,u\), nebst ihren Ableitungen bis zur \((2n-1)\)-ten Ordnung sind. Ist \(z\) Lösung von (1) und \(u\) Lösung von (2), so wird aus (3) \[ \iint_{\varGamma}uF(x,y)dx\,dy=\int_{\gamma}[M\,dy-N\,dx].\tag{4} \] Es wird nun vorausgesetzt, daß eine “Grundlösung” von (2) existiert, d. h. eine Funktion \(u(x,y;x_{1},y_{1})\), die noch von einem Punkte \((x_{1},y_{1})\) abhängt, und die für \((x,y)\neq(x_{1},y_{1})\) endliche und stetige Ableitungen bis zur \(2n\)-ten Ordnung besitzt, während für \((x,y)\equiv(x_{1},y_{1})\) die Ableitungen \((2n-1)\)-ter Ordnung von erster Ordnung unendlich werden. Dann ergibt die Anwendung von (4) auf ein Gebiet \(C\)-\(\tau\), wo \(\tau\) ein kleiner \((x_{1},y_{1}\) ausschließ ender Kreis ist, wenn \(\tau\) gegen Null konvergiert: \[ z(x_{1},y_{1})=A(x_{1}, y_{1}) \left\{\int\int_{C}uF(c,y)dx\,dy+\int_{C}[Mdy-Ndx]\right\}.\tag{5} \] \(A\) ist dabei eine von \(u(x,y;x_{1},y_{1})\), aber nicht mehr von \(z\) abhängende Funktion.
Im ersten Teil wird die Existenz der Fundamentallösung bewiesen. Im zweiten Teil wird aus (5) eine Folgerung auf den analytischen Charakter der die Gleichung (1) befriedigenden Funktion \(z\) gezogen; und im dritten Teil wird ausgeführt, wie die Methode auf Systeme von Differentialgleichungen, die (1) ähnlich gebildet sind, ausgedehnt werden kann.

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References:
[1] Darboux,Leçons sur la théorie des surfaces, t. II, pag. 72 e seg.
[2] Cfr. la mia Nota:Sul problema di Cauchy [Rendiconti dell’Accademia dei Lincei, serie V, vol. XVI, 2o semestre 1907, pp. 105-112].
[3] E. Delassus,Sur les équations linéaires aux dérivées partielles à caractéristiques réelles [Annales Scientifiques de l’Ècole Norrnale supérieure, 3e série, t. XII (1895), pp. S.53-S.123]. Veramente il teorema delDelassus ha portata leggermente diversa da quella che occorrerebbe affinchè l’osservazione precedente avesse vigore di deduzione. Per esso infatti si afferma soltanto che, supposta la equazione a coefficienti analitici, se in un punto una sua soluzione non è sviluppabile in serie diTaylor essa non è neppure sviluppabile in serie diTaylor in nessun punto di ogni caratteristica reale per esso: onde risulta che le soluzioni non possono avere singolarità isolate dal punto di vista delle funzioni di variabili complesse, non già dal punto di vista delle funzioni di variabile reale. Tuttavia questo teorema e lo studio delle equazioni del 20 ordine giustificano la presunzione del testo. Cfr. pureLe Roux,Sur les intégrales des équations linéaires aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes [Annales Scientifiques de l’École Norrnale supérieure, 3e série, t. XII (1895), pp. 227–316];Sur les équations linéaires aux dérivées partielles [Journal de Mathématiques pures et appliquées, 5e série, t. IV (1898), pp. 359–408]. Vedi anche il bell’articolo delSommerfeld nell’Encyklopädie d. math. Wiss., Bd. II, A 7 c.
[4] Hedrick,Über den analytischen Charakter der Lösungen von Differentialgleichungen. Diss. (Göttingen 1901), pag. 37 e seg. · JFM 32.0311.06
[5] Holmgren,Ueber die Existenz der Grundlösung bei einer partiellen Differentialgleichung der 2. Ordnung von elliptischem Typus [Mathematische Annalen, t. LVIII (1904), pp. 404–412]. Si noti che nel caso delle equazioni di 20 ordine in due variabili, si può senz’altro supporre che i coefficienti delle derivate di 20 ordine siano costanti: ciò non è nel caso che l’equazione sia di ordine superiore od in più variabili. · JFM 35.0359.01 · doi:10.1007/BF01444967
[6] Somigliana,Sui sistemi simmetrici di equazioni a derivate parziali [Annali di Matematica pura ed applicata, serie II, t. XXII (1894), pp. 143–156], § 2. · JFM 25.0619.02 · doi:10.1007/BF02353934
[7] I principali risultati di questo lavoro furono già enunciati in una Nota pubblicata nei Rendiconti dell’Accademia dei Lincei, portante lo stesso titolo di questo lavoro medesimo [serie V, vol. XVI, 10 semestre 1907, pp. 932–938].
[8] Dini,Sur la méthode des approximations successive pour les équations aux dérivées partielles du deuxième ordre [Acta Mathematica, t. XXV (1902), pp. 185–230], p. 202. Questa memoria può essere sempre utilmente consultata per quanto in questo lavoro si rimanda alla teoria dei potenziali logaritmici. · JFM 32.0366.03 · doi:10.1007/BF02419026
[9] Fredholm, 1. c. 12).
[10] Fredholm, 1. c. 12), § 6.
[11] Resta a vedersi cosa accade nei campi in cui la molteplicità delle radici è variabile. Pare che nei punti dove varia la multiplicità ci si trovi in presenza di punti singolari per 1’ equazione. Almeno quando si cerca, ricorrendo a sviluppi in serie analoghi a quelli dell’Hensel {Über eine neue Theorie der algebraischen Functionen zweier Variablen [Acta Mathematica, t. XXIII (1900), pp. 339–416]; vedi ancheB. Levi,Sur la théorie des fonctions algébriques de deux variables [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences (Paris), t. CXXXIV (1er semestre 1902), pp. 642–644]}, di studiare il comportamento delle funzioniu(x y;x 1 y 1) da noi trovate nell’intorno di linee critiche, si trovano in generale valori diversi a seconda dei diversi cammini seguiti.
[12] Tranne per i sistemi i quali offrono particolari condizioni di dissimmetria: ad es. per i sistemi di equazioni di 10 ordine secondoHolmgren (vediHadamard,Leçons sur la théorie de la propagation des ondes, Nota 1, pp. 318–319) ed altri pochi tipi di sistemi {vedi ad es. quelli diNiccoletti,Sull’estensione dei metodi di Picard e di Riemann ad una classe di equazioni a derivate parziali [Atti della R. Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche di Napoli, s. II, vol. VIII (1897), No 2, pp. 1–22], oppure quando soccorrono analogìe indicate dalla Fisica matematica {VediSomigliana, l. c.;Fredholm,Sur les équations de l’équilibre d’un corps solide élastique [Acta Mathematica, t. XXIII (1900), pp. 1–42]}.
[13] Cf.Niccoletti, l. c. 24).
[14] Holmgren,Ueber die Existenz der Grundlösung bei einer linearen partiellen Differentialgleichung der zweiten Ordnung vom elliptischen Typus [Archiv för Matematik, Astronomi och Fysik, Bd. 1 (1903–1904), pp. 209–224].
[15] Hadamard,Recherches sur les solutions fondamentales ei l’intégration des équations linéaires aux dirivées partielles (1er et 2e Mémoire) [Annales Scientifiques de l’École Normale supérieure, IIIe série, t. XXI (1904), pp. 535–556; t. XXII (1905), pp. 101–141]. · JFM 35.0352.01 · doi:10.24033/asens.546
[16] Fredholm, 1. c. 24).
[17] È evidente l’analogìa di questa funzione conr 2: se facciamo una trasformazione lineare per modo che in un determinato puntox i (o) la (44) divenga una somma di quadrati, la \(\sigma\) (x i (o) ;y i ) si riduce adr 2. Cfr.Hadamard, 1. c, Memoria 1a, pp. 544–545.
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