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A new form of the simplest problem of the calculus of variations. (English) JFM 38.0408.01
Den beiden Formen, in denen das einfachste Problem der Variationsrechnung behandelt wird, fügt der Verf. eine dritte hinzu, indem er die zu betrachtenden Kurven auch als Funktionen eines Parameters \(t\) annimmt, das Integral aber, welches zu einem Extremum gemacht werden soll, in der Gestalt \[ J=\int f(x,y,\tau)ds \] voraussetzt, wo \(s\) die Bogenlänge der betrachteten Kurven und \(\tau\) der durch die Gleichungen \[ \cos\tau=\frac{\partial x/\partial t}{\sqrt{\left (\frac{\partial x}{\partial t}\right )^{2}+\left (\frac{\partial y}{\partial t}\right )^{2}}},\quad\sin\tau=\frac{\partial y/\partial t}{\sqrt{\left (\frac{\partial x}{\partial t}\right )^{2}+\left (\frac{\partial y}{\partial t}\right )^{2}}} \] bestimmte Winkel der Kurventangente gegen die \(x\)-Achse ist.
Diese neue Form des einfachsten Problems der Variationsrechnung besitzt gegenüber der ältesten Form den Vorzug der Weierstraßschen Form, daß die Kurven von Parallelen zur \(y\)-Achse in mehr als einem Punkte geschnitten werden und auch zur \(y\)-Achse parallele Tangenten besitzen können, vermeidet aber im Gegensatze zur Weierstraßschen Theorie die Homogeneitätsbedingung. Zugleich läßt der Verf. noch die Verallgemeinerung eintreten, daß die Funktion \(f\) in bezug auf \(\tau\) nicht periodisch mit der Periode \(2\pi\) zu sein braucht.
In einer früheren Arbeit (F. d. M. 37, 490, 1906, JFM 37.0490.01) hatte der Verf. für das obige Integral die Eulersche Differentialgleichung und die Transversalitätsgleichungen abgeleitet. In der vorliegenden Abhandlung vervollständigt der Verf. die Theorie, indem er die Werte für die erste und zweite Variation des obigen Integrals und für diejenigen Funktionen gibt, die zur Aufstellung der notwendigen Bedingungen von Legendre, Jacobi, Weierstraß bei festen und beweglichen Endpunkten benutzt werden. Die Ableitung dieser Bedingungen selbst geschieht dann in der sonst üblichen Weise. Einige der Funktionen besitzen für die Blisssche Integralform einfachere Werte als bei Weierstraß. Der wesentlichste Vorzug der Formeln des Verf. ist aber der, daß sie nur Größen enthalten, die gegenüber einer Parametertransformation invariant sind.

MSC:
49K05 Optimality conditions for free problems in one independent variable
Subjects:
Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 7. Variationsrechnung.
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