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Sopra alcune proposizioni fondamentali dell’analisi. (Italian) JFM 38.0429.02

Die vorliegende Abhandlung dürfte am kürzesten durch einige darin enthaltene Sätze aus der Theorie der reellen Funktionen gekennzeichnet werden: Wenn für jeden Punkt \(x\) des Intervalls \((a,b)\) eine Umgebung \(c_{x}\) existiert, in der die obere (untere) Grenze der Funktion \(f(x)\) endlich ist, so gilt dies für die obere (untere) Grenze der Funktion von \(f(x)\) im ganzen Intervall. – Wenn für jeden Punkt \(x\) von \((a,b)\) eine Umgebung der Punkte \(\xi\) existiert, in der die Ungleichungen \(| f_{n}(\xi)|<\varepsilon_{n}\) \((n=1,2,3,\dots,\infty)\) von einem gewissen Werte von \(n\) ab erfüllt sind, der von \(\xi\) unabhängig ist, so gilt die gleiche Eigenschaft für das ganze Intervall \((a,b)\); es existiert also eine positive ganze Zahl \(\mu\) der Art, daßdie vorstehenden Ungleichungen in jedem Punkte \(x\) von \((a,b)\) für \(n\geqq\mu\) erfüllt sind. – Wenn für jeden Punkt \(x\) eines Intervalls \((a,b)\) eine Umgebung \(c_{x}\) existiert, in der eine Folge von Funktionen gleichmäßig stetig ist, so ist sie im ganzen Intervall gleichmäßig stetig. – Erwähnt sei ferner ein Beweis für den Satz von Arzelà über die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die gleichmäßige Konvergenz einer Folge von Funktionen, den Dell’Agnola am Schlußder Abhandlung auf Funktionen einer komplexen Variable ausdehnt.
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