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Sur quelques généralisations du théorème de M. Picard. (French) JFM 38.0433.01
Aus der von Landau angegebenen Verallgemeinerung des Picardschen Satzes (”F. d. M. 35, 403, 1904, siehe JFM 35.0401.02 u. JFM 35.0401.03”) folgt, daß alle ganzen rationalen Funktionen \(F(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}\) mit festen Koeffizienten \(a_{0}\) und \(a_{1}\) \((a_{1}\neq 0)\) in einem Kreise \(| x|<R\), dessen Halbmesser allein von den Koeffizienten, \(a_{0}\) und \(a_{1}\) abhängt, mindestens eine Nullstelle und eine Einsstelle besitzen. Wäre es möglich, diese Eigenschaft der algebraischen Gleichungen algebraisch zu beweisen, so hätte man zugleich einen algebraischen Beweis der Landauschen Verallgemeinerung, da deren Gültigkeit für beliebige rationale Funktionen \(F(x)\) die Gültigkeit für beliebige Potenzreihen \(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots\) nach sich zieht. Die Bemühungen nach dieser Richtung hatten jedoch bis jetzt keinen Erfolg gehabt; denn einige Sätze über die Wurzeln gewisser trinomischer und quadrinomischer Gleichungen, die Landau gefunden hatte (F. d. M. 37, 418, 1906, JFM 37.0418.01), stehen zu jenem Theorem nur in loser Beziehung. Es bedeutet daher einen erheblichen Fortschritt, daß es Landau gelungen ist, einen funktionentheoretischen Satz zu beweisen, der jenen Satz über trinomische Gleichungen als Spezialfall enthält, nämlich den Satz: Es gibt eine absolute Konstante \(\gamma\) von der Beschaffenheit, daß jede Potenzreihe \(1+x+b_{1}x^{1+\nu}+b_{2}x^{1+2\nu}+\cdots\) wo \(\nu\) größer als Eins ist, die für \(| x|<\gamma\) konvergiert, in diesem Kreise mindestens eine Nullstelle besitzt. Für \(\nu=1\) hört dieser Satz auf, richtig zu sein.
Nach einer Bemerkung von Hurwitz, dessen Briefwechsel mit Landau einen erheblichen Einfluß auf die vorliegenden Untersuchungen gehabt hat, gilt ein ähnlicher Satz, wenn die Exponenten von \(x\) in der Potenzreihe eine arithmetische Progression \(k,k+\nu,k+2\nu,\cdots\) bilden, wo \(k\) und \(\nu\) positive ganze Zahlen bedeuten und \(k\) nicht durch \(\nu\) teilbar ist; die Potenzreihe \(1+x^{k}+b_{1}x^{k+\nu}+b_{2}x^{k+2\nu}+\cdots\) ist also in einem gewissen Kreise vom Radius \(R\) entweder divergent oder hat darin eine Nullstelle, wobei \(R\) nur von \(k\) und \(\nu\) abhängt. Die Bestimmung der oberen Schranke der Radien \(R\) hat Carathéodory durchgeführt; ist im besonderen \(k=1,\nu=2\), so daß die Potenzreihe genau die ungeraden Potenzen von \(x\) enthält, so erhält er dafür \(2\varphi\left (\frac{1}{2}\right )\), wo \(\varphi(\alpha)\) die zu der Potenzreihe \(\alpha+x+a_{2}x^{2}+\cdots\) gehörige obere Schranke der Radien bei der Landauschen Verallgemeinerung des Picardschen Satzes beseichnet (F. d. M. 36, 466, 1905, JFM 36.0466.02). Landau gibt hierfür einer direkten Beweis. Endlich beweist er den Satz: Betrachtet man alle Potenzreihen: \(1+x^{k}+b_{1}x^{k+\nu}+b_{2}x^{k+2\nu}+\dots\), wo \(k\) und \(\nu\) ganze positive Zahlen sind und \(k\) nicht durch \(\nu\) teilbar ist, so gibt es eine absolute Konstante \(\gamma\) von der Beschaffenheit, daß jede Potenzreihe der betrachteten Art \(| x |<\gamma\) entweder divergiert oder eine Nullstelle besitzt; die Konstante \(\gamma\) ist absolut, insofern sie weder von \(b_{1},b_{2},\dots\) noch von \(k\) und \(\nu\) abhängt.

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