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Sur le mode de croissance des fonctions entières. (French) JFM 38.0444.02

Ist \(f(z)\) eine ganze Funktion von \(z\), \(z=r\cdot e^{i\varphi}\), und wird mit \(G(r,\varphi)\) der absolute Betrag von \(f\), mit \(M(r)\) das Maximum von \(G(r,\varphi)\) auf dem Kreise mit dem Radius \(r\) bezeichnet, so gilt der wichtige Satz: Die eindeutige, stetige und wachsende Funktion \(M(r)\) setzt sich aus einer endlichen oder unendlichen abzählbaren Anzahl von Teilen algebroider Funktionen zusammen, und die gemeinsamen Werte zweier Teile verschiedener Funktionen sind nur in endlicher Zahl vorhanden oder besitzen nur einen einzigen Grenzwert im Unendlichen. Dabei wird unter einer ganzen algebroiden Funktion \(y=y(x)\) der reellen Variable \(x\) eine reelle Funktion verstanden, die 1. für alle endlichen Werte von \(x\) endlich und stetig ist, 2. für alle Werte von \(x\) analytisch und regulär ist, mit Ausnahme von höchstens einer abzählbaren Menge von Stellen, die die unendlich ferne Stelle als einzige Grenzstelle besitzen, und die 3. für die Ausnahmewerte Puiseux-Entwicklungen nach gebrochenen Potenzen von \(x\) gestattet.
Hauptziel der Arbeit ist der strenge Beweis des angegebenen Satzes, dem sich entsprechende Sätze nebst Beweisen über den Real- und Imaginärtiel der Funktion \(f(z)\) an die Seite stellen. Zur Erläuterung des oben genannten Satzes und des Auftretens der Ecken in der Kurve \(M(r)\) wird ein instruktives Beispiel zugefügt, indem \(f(z)\) als ganze rationale Funktion zweiten Grades gewählt wird.

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Full Text: DOI Numdam EuDML