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Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven. (German) JFM 38.0454.01
Ist \(y(x)\) irgendeine analytische Funktion, \(F\) die zu dieser Funktion gehörende Riemannsche Fläche, so gibt es eine relativ zur Fläche \(F\) überall mit dem Charakter einer rationalen Funktion von \(x\) und \(y\) erklärbare Größe \(t=t(x,y)\), welche so beschaffen ist, daß \(x(t)\) und \(y(t)\) eindeutige lineare automorphe Funktionen sind, deren Existenzbereich entweder durch die ganze Ebene, einschließlich des unendlich fernen Punktes, oder durch die ganze ausschließlich des unendlich fernen Punktes, oder und zwar im allgemeinen durch die Fläche eines endlichen Kreises gebildet wird. Desgleichen gibt es zu jeder reellen analytischen Kurve \((x,y)\) mit reellen Zügen eine analog beschaffene auf den reellen Zügen nur reeller Werte fähige Größe \(t\), für welche \(x(t)\) und \(y(t)\) eindeutige automorphe Funktionen werden, deren Existenzbereich durch die ganze Ebene gebildet wird, exkl. im allgemeinen unendlich viele in nicht abzählbarer Menge vorhandene Punkte auf der Achse des Reellen.
Analoge Sätze lassen sich bei relativer Verzweigung der Funktion \(t(x,y)\) relativ zur Riemannschen Fläche \(F\) aufstellen.
Der Nachweis der Existenz der Größen \(t\) kommt wesentlich darauf hinaus, einen allgemeinen Abbildungssatz für einfach zusammenhängende Bereiche zu beweisen, daß nämlich jede ungeschlossene endlich- oder unendlich-vielblättrige einfach zusammenhängende Riemannsche Fläche umkehrbar eindeutig und konform entweder auf die schlichte (d. i. einblättrige) Fläche der ganzen Ebene, ausschließlich des unendlich fernen Punktes oder auf die schlichte Fläche eines endlichen Kreises abgebildet werden kann.
Der Gedankengang des Beweises ist folgender:
Es sei \(B=\lim_{n=\infty}B_{n}\) die als Grenze der Näherungsflächen \(B_{1},B_{2},\dots\) aufgefaßte, abzubildende Fläche, \(O\) ein Punkt innerhalb \(B_{1}\). Ist \(u_{n}\) die zu \(B_{n}\) gehörende auf der Begrenzung von \(B_{n}\) verschwindene und in \(O\) wie \(\log\frac{1}{r}+c_{n}+((0))\) unendlich werdende Greensche Funktion, so hat man für die Konstanten \(c_{1},c_{2},\dots\) die Ungleichheiten \(c_{1}<c_{2}<c_{3}<\dots\), ferner \(u_{1}<u_{2}<\dots\) Fundamental ist nun die Unterscheidung der beiden Fälle \(\lim_{n=\infty}c_{n}=\left\{{\text{endliche Größe}\;c} \atop{\infty}\right\}\). Im ersten Falle existiert \(\lim_{n=\infty}u_{n}=u\), und \(e^{-(u+iv)}\) leistet eine konforme Abbildung auf den Einheitskreis. Im zweiten Falle existiert \(\lim_{n=\infty}U_{n}=U\), wenn \(U_{n}\) die in \(B_{n}\) eindeutige, auf der Begrenzung von \(B_{n}\) verschwindende, in \(O\) wie \(r^{-1}\cos\varphi\) unstetig werdende Potentialfunktion bezeichnet; \(U+iV\) leistet jetzt eine Abbildung auf die ganze Ebene exkl. eines Punktes. – \(\text{Lim}_{n=\infty}U_{n}\) existiert auch im ersten Falle; \(U+iV\) bildet dann auf die längs einer endlichen geradlinigen Strecke aufgeschlitzte schlichte Ebene ab. Ebenso ist die Reihe der Funktionen \((u_{n}-c_{n})\) und \(e^{-(u_{n}-c_{n})-iv_{n}}\) in beiden Fällen gleichmäßig konvergent. Letztere Tatsache bedeutet geometrisch die Ausführung von lauter konformen Abbildungen der Näherungsflächen \(B_{1},B_{2},\dots\) auf Kreisflächen mit dem Nullpunkt als gemeinschaftlichem Mittelpunkt und den mit dem Index wachsenden Radien \(e^{c_{1}},e^{c_{2}},\dots\)
Gegenüber früheren Untersuchungen von Poincaré (1883), Harnack (1887), Osgood (1900), Brodén (1905), Johansson (1905, 1906) und dem Verf. selbst (1906, 1907), welche, auf dem Prinzip der Majorantenbildung beruhend, nur für gewisse Gattungen von Riemannschen Flächen das Abbildungsproblem zu bewältigen vermochten, wird dieses Prinzip in der hier besprochenen Arbeit nicht mehr benutzt, ein Umstad, welcher die Ausdehnung des allgemeinen Abbildungssatzes auf im Raume gegebene Flächen oder überhaupt “Ruiemannsche Mannigfaltigkeiten” unmittelbar zur Folge hat.
Ist \(y(x)\) speziell eine algebraische Funktion, so ergibt die Anwendung des allgemeinen Abbildungssatzes einen Beweis desjenigen Klein-Poincaréschen “Fundamentaltheorems”, welches die Existenz der zu dieser Funktion gehörenden Uniformisierungstranszendenten mit einem Grenzkreise behauptet (Math. Ann. Bd. 20, 21).

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