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Einige Bemerkungen zur Theorie der hypergeometrischen Funktion auf Grund der Thetafunktionen. (Czech) JFM 38.0471.02
Die hypergeometrische Funktion läßt sich, wie Wirtinger zuerst bemerkt hat, in einfacher Weise mit Hülfe des Integrals \[ J(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})=\vartheta_{3}^{2}\int\vartheta_{0}^{a_{0}}(v,\tau) \vartheta_{1}^{a_{1}}(v,\tau)\vartheta_{2}^{a_{2}}(v,\tau) \vartheta_{3}^{a_{3}}(v,\tau)dv \] darstellen; Integrationskurve ist ein Doppelumlauf um zwei von den Punkten \[ \frac{1}{2},\;\frac{\tau}{2},\;\frac{1+\tau}{2}. \] Der Verf. gibt zuerst die Ableitung der Relationen zwischen den “nächst verwandten Funktionen” (ein Analogon für Gaußsche “functiones contiguae”). Die erste Gruppe von vier solchen Relationen folgt sofort aus den bekannten Formeln \[ \vartheta_{0}^{2}\vartheta_{3}^{2}(v,\tau)=\vartheta_{3}^{2}\vartheta_{0}^{2}(v,\tau)-\vartheta_{2}^{2}\vartheta_{1}^{2}(v,\tau),\dots \] Man erhält so z. B. die Beziehung \[ k'J(a_{0}-2,a_{1}+2,a_{2},a_{3})J(a_{0}-2,a_{1},a_{2}+2,a_{3})-kJ(a_{0}-2,a_{1},a_{2},a_{3})=0. \] Die zweite Gruppe von vier Gleichungen erhält man durch Integration von \(\frac{d}{dv}(\vartheta_{0}^{a_{0}}(v,\tau)\vartheta_{1}^{a_{1}}( v,\tau)\dots)\) längs eines Doppelumlaufes; man bekommt so z. B. \[ a_{1}k'J(a_{0}-1,a_{1}-1,a_{2}+1,a_{3}+1)-a_{2}J(a_{0}-1,a_{1}+1,a_{2}-1,a_{3}+1) \]
\[ -a_{3}kJ(a_{0}-1,a_{1}+1,a_{2}+1,a_{3}-1)=0. \]
Man hat so im ganzen 8 Gleichungen, welche 15 Relationen von Gauß ersetzen.
Zuletzt wird eine direkte Ableitung der Differentialgleichung gegeben für \(J(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})\).
Reviewer: Petr, Prof. (Prag)
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Full Text: EuDML