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Sur les séries de fonctions cylindriques. (French) JFM 38.0489.01
Im vorliegenden Aufsatz erweitert der Verf. verschiedene in seinem Handbuch der Theorie der Zylinderfunktionen [vgl. F. d. M. 35, 476, 1904, JFM 35.0476.03] aufgestellte Formeln. Zunächst entwickelt er, unter Benutzung einer bekannten Formel von Cauchy, die Integrale \[ \int_{0}^{\frac{1}{2}\pi}f(x\cos\varphi)(x\cos\varphi)^{\nu}\cos(\varrho \varphi)d\varphi, \quad \quad \int_{0}^{\frac{1}{2}\pi}f(x\sin 2\psi)(x\sin 2\psi)^{\nu+1}(\cot\psi)^{\varrho}d\varphi, \] in denen \(f(x)\) eine Potenzreihe bezeichnet, die für \(| x|<r\) konvergiert, in Reihen. Indem er dann für \(f(x)\) spezielle Reihen setzt, resp. die beiden obigen Entwicklungen kombiniert, findet er folgende Integraldarstellung des Produktes zweier Zylinderfunktionen: \[ J^{\frac{\nu+\varrho}{2}}(x)J^{\frac{\nu-\varrho}{2}}(x)=\tfrac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{1}{2}\pi}J^{\nu}(2x\cos\varphi) \cos(\varrho\varphi)d\varphi, \quad {\mathfrak R}(\nu)>-1. \] Umgekehrt stellt er auch \(J^{\nu}(x)\) durch ein Integral dar, das unter dem Integralzeichen das Produkt zweier Zylinderfunktionen enthält. Das Hauptresultat der Arbeit, dessen Ableitung auf derselben Grundlage beruht, ist folgendes:
Geht man von einer beliebigen nach Zylinderfunktionen fortschreitenden Reihe \[ (15) \quad \quad x^{\nu}f(\alpha x)=\sum_{s=0}^{\infty}A_{s}^{\nu}(\alpha)J^{\nu+r_{s}}(p_{s}x) \] aus, die konvergiert, wenn \(x\) innerhalb des den Nullpunkt einschließenden Bereiches \(K\), \(x\) innerhalb des den Punkt \(\alpha=0\) einschließenden Bereiches \(R\) liegt, so gilt die Entwicklung \[ (16) \quad \quad x^{\nu}f(\alpha x)=\sum_{s=0}^{\infty}{\mathfrak A}_{s}^{\nu} \left (\tfrac{\alpha}{2}\right )J^{\frac{\nu+\varrho+r_{s}}{2}}(p_{s}x)J^{\frac{ \nu-\varrho+r_{s}}{2}}(p_{s}x), \] wo \[ (17) \quad \quad \alpha^{\nu}{\mathfrak A}_{n}^{\nu}(\alpha) =D_{\alpha}\int_{0}^{\frac{1}{2}\pi}A_{n}^{\nu}(\alpha\sin 2\psi)(\alpha\sin 2\psi)^{\nu+1}(\cot\psi)^{\varrho}d\psi \] \[ [{\mathfrak R}(\nu)>-1, \quad {\mathfrak R}(\nu-\varrho)>2] \] ist, für den Bereich \(\frac{1}{2}K\) von \(x\), \(2k\) von \(\alpha\). Wendet man das allgemeine Resultat auf spezielle Werte von \(r_{s}\), \(p_{s}\) an, so ergeben sich teils bekannte Resultate, z. B. die Beziehungen zwischen Neumannschen Reihen erster und zweiter Art, andererseits die zwischen Kapteynschen Reihen erster und zweiter Art, teils auch neue Formeln.

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Full Text: DOI Crelle EuDML