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Neue Begründung der ebenen Geometrie. (German) JFM 38.0504.01

Diese Arbeit bildet in gewisser Beziehung den Abschluß der Untersuchungen über die Begründung der ebenen Geometrie ohne Benutzung der auf den Raum, die Stetigkeit und die Parallelen bezüglichen Postulate. In den vorhergehenden Arbeiten war stets noch ein auf die Parallelen bezügliches Postulat benutzt, und zwar von Hilbert in der “Festschrift” (F. d. M. 30, 424, 1899, JFM 30.0424.01) das euklidische Postulat, in der Arbeit Math. Ann. 57 (F. d. M. 34, 525, 1903, JFM 34.0525.01) das Axiom von der Existenz der Bolyaischen Parallelen, von Hessenberg (F. d. M. 36, 583 ff., 1905, JFM 36.0583.02) das Axiom vom Schneiden je zweier Geraden. Keine solche Forderung wird inder vorliegenden Arbeit benutzt. Verf. leitet der Spiegelung ab, und zwar führt er zunächst die idealen Punkte und Geraden ein und beweist dann den Pascalschen Satz über das einem Geradenpaar eingeschriebene Sechseck. da nun nach Hessenberg (F. d. M. 36, 583, 1905, JFM 36.0583.02) der Desarguessche Satz aus dem Pascalschen direkt folgt, so ist mit jenem Resultat die Möglichkeit der Einordnung der vorgelegten ebenen Geometrie in ein räumliches System nachgewiesen und ihr Aufbau auf Grund der bereits vorliegenden resultate erledigt. Zum Schlusse wird noch ein einfaches System von Axiomen aufgestellt, das zur Ableitung der obigen Resultate genügt. Es tritt besonders hervor, daß in bezug auf die Anordnung bloß vorausgesetzt zu werden braucht, daß die Mittelpunkte der Seiten eines Dreiecks nicht auf einer Geraden liegen.

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References:

[1] G. Hessenberg, Neue Begründung der Sphärik, Sitzber. d. Berliner Math. Gesellsch. 1905, S. 70, und Begründung der elliptischen Geometrie, diese Annalen, Bd. 61, S. 173.
[2] Im Falle eines eigentlichen Punktes findet man einen Beweis bei F. Schur, Über den Fundamentalsatz der projektiven Geometrie, Math. Annalen Bd. 51, S. 404.
[3] Hilbert, Grundlagen der Geometrie 1899, p. 28.
[4] G. Hessenberg, Neue Begründung der Sphärik, Sitzungsber. d. Berliner Math. Gesellschaft 1905, S. 70 (Archiv d. Math. u. Physik, Bd. 9).
[5] G. Hessenberg, Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen, diese Ann., Bd. 61, S. 165, sowie Desarguesscher Satz und Zentralkollineation, Arch. d. Math. u. Phys., III. Reihe, Bd. 6
[6] G. Hessenberg, Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen, diese Annalen Bd. 61, S. 161.
[7] F. Schur, Über die Grundlagen der Geometrie, diese Annalen, Bd. 55, S. 281 ff. · JFM 32.0531.03
[8] M. Dehn, Die Legendreschen Sätze über die Winkelsumme des Dreiecks, diese Annalen, Bd. 53, S. 436. · JFM 31.0471.01
[9] Vgl. F. Schur, Über die Grundlagen der Geometrie, diese Annalen, Bd. 55, S. 286.
[10] Vgl. M. Pasch, Vorlesungen über neuere Geometrie (Leipzig 1882), S. 163; K. Th. Vahlen, Abstrakte Geometrie (Leipzig 1904), S. 261, bemerkt, daß der Satz schon von Lambert (Vgl. Stäckel und Engel, Die Theorie der Parallelinien (Leipzig 1895), S. 186) ohne Benutzung der Stetigkeit bewiesen worden sit. Der Beweis bei Vahlen, a. a. O. S. 258, ist im wesentlichen eine Wiedergabe des Lambertschen Beweises.
[11] Andere Beweise bei Dehn, a. a. O., Die Legendreschen Sätze über die Winkelsumme des Dreiecks, diese Annalen, Bd. 53, S. 436. S. 429 und Schur, a. a. O., S. 291.
[12] Wir heben hervor, daß nach unserer Auffassung gerade der hier ringeschlagene Weg der natürliche ist, um die vollständige elliptische Geometrie aufzubauen. Vgl. hier die Bemerkung von Schur., Über die Grundlagen der Geometrie, diese Annalen, Math Annalen Bd. 55, S. 267 u. 274.
[13] Hilbert: Grundlagen der Geometrie 1899 (S. 26)
[14] Vgl. Peano, Torino Atti 38. Bd. S. 10.
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