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On a certain class of algebraic translation-surfaces. (English) JFM 38.0642.04
Lie hat diejenigen Schiebungsflächen untersucht, die auf mehrfache Weise erzeugt werden können, insbesondere auf vierfache Weise. Sie sind durch den Zusammenhang mit dem Abelschen Theorem nicht nur flächentheoretisch, sondern auch funktionentheoretisch von besonderer Wichtigkeit. In der vorliegenden Arbeit untersucht der Verf. die algebraischen Schiebungsflächen, die sich auf vierfache Weise erzeugen lassen. Deutet man mit Lie die die Tangentenrichtung bestimmenden Differentialquotienten \(dx/dz,dy/dz\) als kartesische Koordinaten \(\xi,\eta\) der unendlich fernen Ebene, so gehört zu jeder Translationsfläche der betrachteten Art eine charakteristische Kurve vierter Ordnung, von der der Verf. beweist, daß sie notwendigerweise eine Unikursalkurve ohne Doppelpunkt mit verschiedenen Tangenten sein muß; diese Eigenschaft ist auch hinreichend. Es ergeben sich acht verschiedene Typen von algebraischen Translationsflächen, die auf vier verschiedene Arten erzeugt werden können, und diese sind die einzigen algebraischen Translationsflächen dieser Eigenschaft. In kartesischen Koordinaten lauten ihre Gleichungen wie folgt: \[ \begin{aligned} & zx=x^{4}+y^{2}-1,\\ & 2z=y^{4}+2xy^{2}-x^{2},\\ & y(4x^{3}-4z)+4x^{2}=1,\\ & y=zx^{2}-z^{5}-z^{3},\\ {\,}\end{aligned} \quad \quad \begin{aligned} & zx^{2}-2yz=2x\\ & \begin{cases} z(2yz+\frac{1}{2})=2(x+y),\\ z(x^{2}+y^{2}-1)=2x,\end{cases}\\ & zy+\tfrac{1}{45}\,z^{6}- \tfrac{1}{12}\,z^{4}-\tfrac{1}{3}\,xz^{3}-x^{2}+\tfrac{13}{36}=0,\\ & y=zx^{2}-z^{5}.\end{aligned} \]

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