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Criteria for the irreducibility of a reciprocal equation. (English) JFM 39.0121.01

Eine reziproke Gleichung \(F(x)=0\) vom Grade \(2n\) gehe durch die Substitution \(x+1/x=y\) über in die Gleichung \({\varphi}(y)=0\) vom Grade \(n\) mit Koeffizienten im Bereiche \(R\). Dann sind die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Irreduzibilität von \(F(x)\) in dem Bereiche \(R\), daß (I) \({\varphi}(y)\) in \(R\) irreduzibel ist, und daß (II) \(F(x)\) nicht gleich einem Produkte zweier verschiedenen irreduzibeln Funktionen vom Grade \(n\) ist. So sind die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, daß \(x^4+ c_1x^3+ c_2x^2+ c_1x+1(c_1 \neq 0)\) in einem Bereiche \(R\) irreduzibel ist, daß \(\sqrt{{c_1}^2- 4c_2+ 8}\) irrational ist, und daß entweder \(l=\sqrt{(1+ \frac 1 2 c_2)^2- {c_1}^2}\) irrational ist, oder aber \(l\) rational und die Werte von \(\sqrt{\frac 1 2 {c_2}^2- {c_1}^2{\pm} (c_2-2)l}\) beide irrational sind.

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