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Sur une suite de fonctions rationnelles rattachées aux équations algébriques. (French) JFM 39.0124.01

Ist eine algebraische Gleichung \(n\)-ten Grades \(f(x)=0\) gegeben, so denke man sich zunächst in der schom von {Gräffe} angegebenen Art diejenige Gleichung \(P_k(x)=0\) gebildet, deren Wurzelm die \(2^k\)-ten Potenzen der Wurzeln der vorgelegten Gleichung sind. {Petrovitsch} führt nun eine Reihe von rationalen Funktionen durch die Gleichung \(N_k(x)=\frac {x \cdot P_k'(x)} {P_k(x)}\) ein und zeigt deren Beziehung zu der Anzahl der Wurzeln von \(f(x)=0\), welche dem absoluten Werte nach unter einer gegebenen Grenze liegen. Kann man nämlich in der komplexen Zahlenebene einen Kreisring um den Anfangspunkt als Mittelpunkt angeben, dessen innerer Radius \(R\) und dessen Breite \(\delta\) ist, innerhalb dessen sicher keine Wurzel von \(f(x)=0\) liegt, und wählt man für \(k\) irgend einen ganzzahligen Wert, der größer ist als \[ \frac {1} {\log2} \left[\log\log(n+1)-\log\log\;\frac {2R+2\delta} {2R+\delta}\right], \] so ist die Anzahl der im Innern des Kreises mit dem Radius \(R\) vorhandenen Wurzeln entweder gleich \(M\) oder gleich \(M+1\), wo \(M\) die größte ganze Zahl bedeutet, die in \(N_k(x)\) für \(x=(R+ \frac {\delta} {2})^{2^k}\) enthalten ist.