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On triple algebras and ternary cubic forms. (English) JFM 39.0138.03

Für irgend ein Feld \(F\), in welchem eine irreduzible kubische Gleichung \(f(\varrho)= 0\) besteht, ist die Norm von \(x + y \varrho + z \varrho^2\) eine ternäre kubische Form \(C\), welche für kein anderes Wertsystem in \(F\) verschwindet als für \(x = y = z = 0\). Die Bedingungen, unter welchen die allgemeine ternäre Form die letztere Eigenschaft hat, werden hier für den Fall endlicher Felder bestimmt. Eine Formulierung des Resultats ist die folgende: Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, daß eine ternäre kubische Form für kein anderes Wertsystem \(x, y, z\) in dem \(GF[p^n](p>2)\) als für \(x = y = z = 0\) verschwindet, bestehen darin, daß ihre Hessesche Form gleich \(mC\) ist, wo \(m\) eine von Null verschiedene Konstante ist, und daß die binäre Form, die aus \(C\) dadurch erhalten wird, daß man \(z = 0\) setzt, in dem Felde irreduzibel ist. – Obgleich der Verf. von diesem Satze bis jetzt noch keinen Beweis veröffentlicht hat, findet sich doch schon eine Anwendung desselben bei der Bestimmung aller endlichen dreifachen linearen Algebren, in denen die Multiplikation kommutativ und distributiv, aber nicht mit Notwendigkeit assoziativ ist, während die Division in einziger Weise möglich ist (F. d. M. 37, 111, 1906, JFM 37.0111.06). In dem vorliegenden Aufsatze werden diese Algebren bestimmt, indem die tieferen Bedingungen angewandt werden, von denen der angeführte Satz eine Folge ist. Solche ternären kubischen Formen treten bei manchen anderen Problemen auf, z. B. bei der Normalisierung von Familien ternärer quadratischer Formen, welche drei linearunabhängige Formen enthalten. Alle derartigen kubischen Formen in einem endlichen Felde sind bei linearen Transformationen in dem Felde äquivalent.

Citations:

JFM 37.0111.06
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