Über Differentialgleichungen für Invarianten. (Czech) JFM 39.0144.01

Petr, K.

Časopis 37, 261-276 (1908); (Böhmisch).

Gewöhnlich zerlegt man, um die Differentialgleichung für Invarianten abzuleiten, die allgemeine lineare Substitution in einfachste Substitutionen. Es ist aber zu diesem Zwecke viel geeigneter, folgenden Satz zu benutzen: Wenn die ganze Form \(F(x^{(k)})\) von \(n\) Reihen \(n\)-ärer Veränderlichen \((x^{(1)}), (x^{(2)}), \dots, (x^{(n)})\) abhängt, und wenn Gleichungen \[ D_{12}F = 0,\quad D_{13}F = 0, \dots,\quad D_{1n}F = 0 \] erfüllt sind, dann ist \[ F(x^{(k)}) = \delta^{p1} G(x^k). \] Dabei bedeutet \[ D_{ik} = \frac {\partial F} {\partial x_1^{(i)}}\;x_1^{(k)} + \frac {\partial F} {\partial x_2^{(i)}}\;x_2^{(k)} + \dots + \frac {\partial F} {\partial x_n^{(i)}}\;x_n^{(k)},\;\delta = | x_k^{(i)} |,\;i, k = 1, 2, \dots n, \] \(p_1\) den Grad der Form \(F(x^{(k)})\) in der Reihe \((x^{(1)})\) und \(G(x^{(k)})\) eine Form, die von der Reihe \((x^{(1)})\) nicht abhängt.
Aus diesem Satze und aus der Definition der Invariante folgt leicht z. B. der Satz: Notwendige und hinreichende Bedingungen daß \(I\), eine Funktion der Veränderlichen und der Koeffizienten des gegebenen Formensystems, eine Invariante sei, sind folgende: 1. \(I\) ist nach jedem Index von demselben Gewicht; 2. \(\varDelta_{12}I = 0, \varDelta_{13}I = 0, \dots, \varDelta_{1n}I = 0\). Die Zeichen \(\varDelta_{ik}\) sind übliche Zeichen für gewisse Derivationsoperationen.

Reviewer: Petr, Prof. (Prag)

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Algebra. Kapitel 2. Theorie der Formen (Invarianten). A. Theorie der algebraischen Formen.