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Invariantive reduction of quadratic forms in the \(GF [2^n]\). (English) JFM 39.0146.01

In einer früheren Arbeit (F. d. M. 38, 150, 1907, JFM 38.0150.01) gab der Verfasser ein vollständiges System nichtäquivalenter kanonischer Gestalten von quadratischen Formen mit \(m\) Variabeln im Galoisschen Felde der Ordnung \(p^n\). Die Fälle \(p= 2\) und \(p> 2\) erwiesen sich dabei als wesentlich verschieden. Der erstere Fall erfährt jetzt eine einfachere Behandlung. Der Rang \(r\) der “Diskriminantdeterminante” liefert die kleinste Anzahl von Variabeln, durch die die Form ausdrückbar ist. Hierbei unterscheidet sich die Definition von \(r\) von der der algebraischer Theorie, insofern hier die halben Minoren ungerader Ordnung zur Verwendung kommen. Bei ungeradem \(m\) verschwindet zwar die Diskriminante identisch, aber die Semidiskriminante \(S_m\) ist eine wichtige Invariante.
Für das nämliche Feld \([2^n]\) für \(n \leqq 4\) wird alsdann ein vollständiges System linear unabhängiger Invarianten der ternären quadratischen Form aufgestellt.
Im Felde \([2^n]\) sei eine allgemeine quadratische Form vorgelegt: (1) \(Q_m(x) \equiv \sum_{i<j} c_{ij} x_i x_j+ \sum b_i x_i^2\) \((i, j= 1,\dots, m)\). Durch eine geeignete lineare Substitution mit Koeffizienten \(c_{ik}\) geht die Form über in (2) \(x_1 x_2 + c_{12} \sum_{i<j}^{3 \dots m} [12ij] x_i x_j + b_1 x_1^2+ c_{12}^{-2} b_2 x_2^2+ \sum_{i=3}^{m} \beta_i x_i^2\), wo \([12ij] = c_{12} c_{ij}- c_{1i} c_{2j}+ c_{1j} c_{2i}\) und (3) \(\beta_i = c_{12} c_{1i} c_{2i} + b_1 c_{2i}^2 + b_2 c_{1i}^2 + b_i c_{12}^2\). Fährt man so fort, so ergibt sich, daß entweder \(Q_m\) durch weniger als \(m\) Variabeln ausdrückbar ist oder aber, je nachdem \(m\) ungerade oder gerade, auf eine der beiden kanonischen Formen reduzierbar: (4) \(x_1 x_2+ x_3 x_4+ \cdots + x_{m- 2} x_{m- 1}+ x_m^2\), (5) \(x_1 x_2+ x_3 x_4+ \dots + x_{m- 1} x_m+ \sum_{i = 1}^m \delta_i x_i^2\).
Die algebraische Diskriminante \(\Delta\) von \(Q\) ist die aus den \(2b_i\) und den \(c_{ij}\) gebildete Determinante; im Felde \([2^n]\) ist dieselbe schiefsymmetrisch, verschwindet also für ungerades \(m\), während sie für gerades \(m\) das Quadrat des Pfaffschen Ausdrucks \([12 \dots m]\) wird.
Bei ungeradem \(m\) erhält man die “Semidiskriminante” \(S_m\), wenn man \(\varDelta\) algebraisch entwickelt und alsdann jeden der (geraden) Koeffizienten halbiert.
Für irgend ein Feld \(F\) lassen sich die linearen homogenen Substitutionen der \(x\) erzeugen aus zwei Substitutionen vom Typus \(x_1= x_1'+ tx_2'\), \(x_i= x_i'\) \((i> 1)\) und \(x_1= \lambda x_1'\), \(x_i= x_i'\) \((i> 1)\). Die Koeffizienten der neuen Form \(Q'\) werden dann: \(l_s'= b_2+ tc_{12}+ t^2b_1\), \(c_{12}^\prime= c_{12}+ 2tb_1, c_{2i}^\prime= c_{2i}+ tc_{1i}\) \((i\geqq 3)\), resp. \(b_1^\prime= \lambda^2 b_1, c_{1i}^\prime= \lambda c_{1i}\) \((i\geqq 2)\).
Im ersteren Falle wird \(\varDelta' = \varDelta\), im letzteren \(\varDelta'= \lambda^2 \varDelta\). Für das Feld \([2^n]\) ist \(S_m\) eine relative Invariante. Daraus folgt der wichtige Satz, daß, je nachdem \(m\) gerade oder ungerade ist, das Verschwinden der Diskriminante, resp. Semidiskriminante die notwendige und hinreichende Bedingung dafür liefert, daß die Form \(Q\) im Felde \([2^n]\) linear in eine Form von weniger als \(m\) Variabeln transformierbar ist. Die unter (5) angegebene kanonische Gestalt umfaßt zwei nicht äquivalente Klassen. Sodann wird eine Bedingung zwischen den Koeffizienten von \(Q\) ermittelt, die a priori die Klasse, zu der \(Q\) gehört, charakterisiert.
Nunmehr wird an die Bestimmung von Funktionen der Koeffizienten von \(Q\) gegangen, die Invariant bleiben bei jeder linearen Substitution im Felde \([2^n]\), der Reihe nach für \(m= 2, 3, 4\).
So sind für \(m= 3\) wo \(Q= a_1x_2x_3+ a_2x_1x_3+ a_3x_1x_2+ \sum b_i x_2^i\), absolute Invarianten \(A= \Pi (a_i^{2^n- 1}- 1)\), \(J= A\Pi(b_i^{2^n- 1}- 1)\) \((i= 1, 2, 3)\). Um weitere zu gewinnen, sind die verschiedenen Werte von \(n\) zu unterscheiden; z. B. ergeben sich für \(m= 3\), \(n= 1\) vier linear unabhängige Invarianten, und ebenso für \(m= 3\), \(n= 2\). Dagegen sind \(S_3\) und \(S_3^2\) für \(m= 3\) die einzigen relativen Invarianten.
Endlich wird noch das Produkt irgend zweier der aufgestellten Invarianten als eine lineare Funktion gewisser Fundamentalinvarianten hergestellt, sowie eine Reihe von Sätzen über die allgemeine Gestalt einer Invariante im Felde \([2^n]\) entwickelt.

Citations:

JFM 38.0150.01
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