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On the canonical forms and automorphs of ternary cubic forms. (English) JFM 39.0149.01

Gordan (F. d. M. 31, 589, 1900, JFM 31.0589.04) hat ein vollständiges System kanonischer Typen ternärer kubischer Formen aufgestellt und die algebraischen Irrationalitäten bestimmt, die bei der Reduktion bezüglicher linearer Transformationen auftreten. Der Verf. untersucht eine entsprechende Theorie, bei der die Koeffizienten der Form und der reduzierenden Transformationen einem gegebenen Felde \(F\) vom Modul \(3\) angehören.
Zunächst wird das Reduktionsproblem rational im Ausgangsfelde behandelt, später werden auch Reduktionen mit Irrationalitäten in Betracht gezogen. Schließlich werden \(11\) kanonische Gestalten aufgestellt. Die Urform \(f\) mit Koeffizienten in \(F\) sei \(f= \sum a_ix_i^3+ \sum \sum c_{ij}x_i^2x_j+ bx_1x_2x_3\). Die Hessesche Form \(H\) von \(f\) hat die analoge Struktur \(H= \sum A_ix_i^3- Q\{\sum \sum c_{ij}x_i^2x_j+ bx_1x_2x_3\}\), wo \(Q= b^2- c_{21}c_{31}- c_{12}c_{32}- c_{13}c_{23}\), \(A_i= c_{ij}^2c_{ki}+ c_{ik}^2c_{ji}- bc_{ij}c_{ik}\) \((i, j, k= 1, 2, 3)\). \(Q\) ist eine Invariante von \(f\) und \(\sum (A_i+ Qa_i)x_i^3\) eine Kovariante. Hieraus geht hervor, daß der vorliegende Fall, wo das Feld \(F\) den Modul \(3\) besitzt, einen Ausnahmecharakter trägt. Duch geeignete Transformation nimmt \(f\) die Gestalt an: \(f(x)= x_1^2x_2- Qx_3^2x_2+ Rx_2^2x_3+ Sx_3^2x_1+ \sum a_i{x_i}^3\), und durch eine weitere Transformation eine analoge Gestalt \(f\prime(y)\). Soll hier der Koeffizient \(S\prime\) verschwinden, so sind die Bedingungen zu erfüllen: \(tQ- t^3R^2= S, t^3Q^3- t^9R^6= S^3\), u. s. f. Die Determinante der Koeffizienten von \(t, t^3, \dots\) wird dann gleich \(\varDelta= Q^{\frac{1}{2}(3^n- 1)}- R{3^n- 1}\). Durch Einzeldiskussion gelangt dann der Verf. zu sechs kanonischen Typen: \({x_1}^2x_2+ {x_2}^2x_3+ \sum a_ix_i^3, x_1^2x_2- \nu x_3^2x_2+ \sum a_ix_i^3\), \(x_1^2x_2- x_3^2x_2+ x_2^2x_3+ sx_3^2x_1+ \sum a_ix_i^3, x_1x_2x_3+ \sum a_ix_i^3\), \(\sum a_i x_i^3\). Es läßt sich zeigen, daß keine Form eines dieser sechs Systeme vermöge einer linearen Substitution im Felde \([3^n]\) in eine Form eines anderen Systems überführbar ist. Damit zerfällt die Aufgabe der Reduktion der Urform auf kanonische Gestalten in sechs unabhängige Aufgaben. Zu dem Behuf werden die Gruppen von kanonischen Formen invariant lassen. Die Ordnungen dieser sechs Gruppen werden der Reihe nach angegeben durch \(3^{2n} (3^n- 1), 2(3^{2n}- 1), 3^{3n} {(3^n- 1)}^2, 3(1+ 3^n+ 3^{2n}), 6{(3^n- 1)}^2, 3^{3n} (3^{3n}- 1) (3^{2n}- 1) (3^n- 1)\); die Gruppen selbst werden durch einfache Fundamentalsubstitutionen erzeugt. Sodann werden die Reduktionen auf jene sechs Typen mit ihren Untertypen im einzelnen durchgeführt und die Ergebnisse in einer Tabelle vereinigt. In einer ersten Spalte stehen die kanonischen Formen mit ihren verschiedenen Unterfällen, in zweiten Spalte die “Automorphe”, d. h. die die jedesmalige Form invariant lassenden Substitutionen, und in einer dritten und letzten Spalt die Anzahlen dieser Automorphe. Im ganzen ergeben sich \(11\) zu unterscheidende kanonische Gestalten der Urform im Felde \([3^n]\). Diese Untersuchungen bilden eine wesentliche Ergänzung zu den Gordanschen, die sich auf das “allgemeine” Feld beziehen.

Citations:

JFM 31.0589.04
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