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Sur les invariants des systèmes différentiels. (French) JFM 39.0187.01
In zwei früheren Arbeiten (F. d. M. 27, 267, 1896, JFM 27.0267.03; 28, 298, 1897, JFM 28.0298.03) hat sich Verf. bereits mit der Untersuchung beliebiger Differentialsysteme beschäftigt. Ein und dasselbe Differentialsystem läßt sich auf verschiedene Arten auf eine kanonische Gestalt bringen, und diese verschiedenen Gestalten führen auch auf verschiedene Arten, um das Integral mit Hülfe von Anfangsfunktionen und Anfangskonstanten zu bestimmen. So definiert z. B. das kanonische System \(\frac {\partial u} {\partial x} = 0, \frac {\partial v} {\partial x} = \frac {\partial u} {\partial y}\), wo \(u, v\) von \(x, y, z\) abhängen, ein Integral mittels zweier Anfangsfunktionen, die beide von \(y\) und \(z\) abhängen. Aber dasselbe System gestattet auch die folgende kanonische Gestalt: \(\frac {\partial^2 u} {\partial x^2} = 0, \frac {\partial^2 u} {\partial x \partial y} = 0, \frac {\partial^2 u} {\partial x \partial z} = 0, \frac {\partial^2 u} {\partial y^2} = \frac {\partial^2 v} {\partial x \partial y}, \frac {\partial^2 u} {\partial y \partial z} = \frac {\partial^2 v} {\partial x \partial z}, \frac {\partial^2 v} {\partial x^2} = 0, \frac {\partial u} {\partial x} = 0, \frac {\partial u} {\partial y} = \frac {\partial v} {\partial x}\), und diese neue Gestalt liefert ein Integral durch drei Anfangsfunktionen, von denen zwei von \(y\) und \(z\) abhängen, die dritte von \(z\) allein. Die Integrale werden hierbei durch das sogenannte verallgemeinerte Cauchysche Theorem geliefert.
Es erhebt sich nun die Frage, ob zwischen diesen verschiedenen Systemen von Anfangs-Funktionen und Konstanten Beziehungen bestehen. An sich haben zwar die willkürlichen Funktionen, die in das allgemeine Integral eingehen, nur die Bedeutung, die unendlich vielen willkürlichen Konstanten des Integrals in geeigneter Weise zu gruppieren. Anders ist es schon, wenn man die willkürfichen Funktionen der Bedingung unterwirft, analytisch zu sein. Folgen sich aber überdies diese Anfangsfunktionen, wie es bei dem Cauchyschen Verfahren der Fall ist, nach einer bestimmten Regel, und besitzen sie zugleich eine ersichtliche geometrische Bedeutung, so werden die in Rede stehenden Gruppierungen von Bedeutung. Die Antwort auf die vorgelegte Frage wird durch “Invarianten” geliefert, d. h. durch gewisse Größen, die aus den Fundamentalzahlen der kanonischen Formen gebildet sind, und die beim Übergange zu einer andern kanonischen Form ungeändert bleiben. Zur Aufstellung solcher Invarianten werden zwei Wege eingeschlagen; der zweite liefert dieselben zwar erst nach und nach aber er führt zu einem einfachen Bildungsgesetz mit Hülfe von Funktionen, die in der elementaren kombinatorischen Analysis auftreten.
Diese Invarianten liefern indessen nicht nur die Lösung des vorgelegten Problems, sondern haben eine erheblichere Tragweite.
Die Arbeit gliedert sich in folgende Teile. Zuerst (§ 1) werden einige kombinatorische Hülfsformeln entwickelt; sodann (§ 2) wird die Anzahl der Glieder in einer “kanonischen Gesamtheit von Ableitungen” bestimmt. In § 3 wird die Cauchysche Theorie der Anfangssysteme auseinandergesetzt. Der zweite Abschnitt (§§ 4, 5) ist der Aufstellung der Invarianten gewidmet, nach den beiden erwähnten Methoden. Der dritte Abschnitt beschäftigt sich mit den einfacheren Eigenschaften der Invarianten und deren Anwendungen.
Wir gehen jetzt auf den Inhalt der einzelnen Abschnitte näher ein. Man setze: \[ (1)\quad\quad \varphi_p(z) = \frac {z (z + 1) \dots (z + p - 1)} {1 \cdot 2 \dots p}, \] so gilt die bekannte Rekursionsformel: \[ (2)\quad\quad \varphi_{p + 1}(z + 1) = \varphi_{p + 1}(z) + \varphi_p(z + 1). \] Durch wiederholte Anwendung ergibt sich, wenn man \(z = 1\) nimmt, die für das Folgende grundlegende Beziehung (3) \(\varphi_p(1) + \varphi_p(2) + \cdots + \varphi_p(k) = \varphi_{p + 1}(k)\).
Aus ihr erschließt man das Additionstheorem der Funktion \(\varphi_p(z)\): \[ (4)\quad\quad \varphi_p(z + a) = \varphi_p(a) + \varphi_{p - 1}(a) \varphi_1(z) + \cdots + \varphi_1(a) \varphi_{p - 1}(z) + \varphi_p(z), \] sowie das Gesetz für Vertauschung von Index und Argument: \[ (5)\quad\quad \varphi_p(z) = \varphi_{z - 1}(p + 1). \] Versteht man unter \(D_m^n\) die Anzahl der Gesamtheit \(E\) der Ableitungen \(n\)-ter Ordnung einer Funktion von \(m\) Variabeln, so wird nach obigem (6) \(D_m^n = \varphi_n(m) = \varphi_{m - 1}(n + 1)\). Sind \(\alpha_0, \alpha_1,\dots, \alpha_{m - 1}\) die Indizes der Gesamtheit \(E\), und bedeuten \(e\) die komplementare Gesamtheit, \(T\) und \(t\) die Gliederanzahlen von \(E\) und \(e\), so ist \(T + t = D_m^n\). Für \(\alpha_0 = 1\) ist \(T = 0\). Für \(\alpha_0 = 0\) wird der Wert von \(t\) berechnet gleich \(\varphi_{m - 1}(n + 1)\). Führt man allgemein die Teilsummen \(\sigma\) der \(\alpha\) ein, sodaß \(\sigma_i = \alpha_0 + \alpha_1 + \cdots + \alpha_i\) \((i = 0, 1,\dots, m - 1)\), so läßt sich \(t\) als lineares Aggregat von \(\varphi\)-Funktionen darstellen. Setzt man weiter \(\omega_i = \varphi_1(- \sigma_i) + \varphi_2(- \sigma_{i - 1}) + \cdots + \varphi_{i + 1}(- \sigma_0)\), so lassen sich damit \(t\) und \(T\) einfacher darstellen; für \(T\) ergibt sich der Ausdruck (6) \(1 + \omega_{m - 1} + \varphi_1(n) (1 + \omega_{m - 2}) + \cdots + \varphi_{m - 1} (n) (1 + \omega_0)\).
Nunmehr mögen \(p\) Funktionen \(u_k\) \((k = 1,\dots, p)\) von \(m\) Variablen \(x_i\) \((i =1,\dots, m)\) vorliegen; die \(x_i^0\) seien Anfangswerte der \(x_i\). Jeder Funktion \(x_i\) wird ein Indizessystem \(\alpha_0^i, \alpha_1^i,\dots, \alpha_{m - 1}^i\) zugeordnet, und alsdann wird ein System von partiellen Ableitungen der \(u_i\) gebildet, wobei sich deren Indizes aus den \(\alpha\) und Einern additiv zusammensetzen. Setzt man hier die Anfangswerte \(x_i^0\) ein, so erhält man ein Cauchysches “Anfangsystem” für die Funktionen \(u_k\). Die in Form einer Matrix angeordneten Werte der Indizes \(\alpha_i^k\) \((i = 0, 1,\dots, m; k =1, 2,\dots, p)\) nennt man die Tafel der “Fundamentalzahlen” des Cauchyschen Systems. Weiter sei \(S\) ein verträgliches Differentialsystem in \(p\) Unbekannten \(u\) und \(m\) Variabeln \(x\). Dies System \(S\) läßt sich auf eine “kanonische” Form bringen, sodaß einmal jede aus einer Gleichung von \(S\) abgeleitete in \(S\) vorkommt oder eine algebraische Folge der Gleichungen von \(S\) ist, andererseits das System \(S\) in Partialsysteme \(S_n\) teilbar ist, wo jede Gleichung von \(S_n\) die Ordnung \(n\) besitzt, die sich mittels der andern Gleichungen von \(S\) nicht weiter verringern läßt. Ist nur die erste Bedingung allein erfüllt, so heißt das System ein “vollständiges”, wenn aber beide Bedingungen, ein “geordnetes”. Diese beiden Eigenschaften eines Systems bleiben erhalten gegenüber einer beliebigen Punkttransformation der \(x\) und \(u\).
Es sei jetzt \(S\) ein verträgliches und geordnetes System, \(S^\prime\) das transformierte. Sind \(N_n\) und \(N_n'\) die Anzahlen der Gleichungen beider Systeme, so ist nach obigem \(N_n^\prime = N_n\), d. h. die Zahl \(N_n\) ist für jedes \(n\) invariant für alle geordneten Formen eines und desselben Differentialsystems. Es sei \(S\) in kanonischer Gestalt dargestellt mit der Ordnung \(\nu\). Für \(n \geqq \nu\) werden die Gleichungen \(S_n\) aufgelöst nach den Gesamtheiten der Ableitungen der Ordnung \(n\) mit den Indizes \(\alpha\). Dann ist \(N_n\) die Gesamtanzahl der Ableitungen dieser \(p\) Gesamtheiten, sodaß man die \(p\) Werte von \(T\) (6) zu summieren hat. Setzt man zur Abkürzung (7) \(J_k = \sum_1^p \omega_p^i\), so wird demgemäß (8) \(N_n = p + J_{m - 1} + \varphi_1(n) \times (p + J_{m - 2}) + \cdots + \varphi_{m - 1}(n) (p + J_0)\). Alle Zahlen \(N_n\), bis zu einem gewissen Werte von \(n\), sind Invarianten.
Nunmehr betrachte man zwei kanonische Gestalten \(C, C^\prime\) des Systems \(S\). Dann ergibt sich unmittelbar, daß (9) \(J_k^\prime = J_k\) \((k = 0, 1,\dots, m - 1)\), d. h. die \(m\) Größen \(J_k\) bleiben ungeändert, wenn man von irgend einer ersten kanonischen Gestalt des Systems \(S\) zu irgend einer zweiten solchen übergeht. Zu diesen \(m\) Invarianten \(J_k\) tritt aber noch eine weitere solche (10) \(J_m = \sum_1^p \omega_m^i\), wo die \(\omega_m^i\) aus gewissen ergänzenden Fundamentalzahlen \(\alpha_m^i\) gerade so gebildet sind, wie die früheren \(\omega_k^i\) \((k = 0, 1,\dots, m - 1)\) aus den \(\alpha_k^i\).
Zu denselben Ergebnissen gelangt der Verf. auf einem zweiten Wege indem er die beiderlei Tafeln von Fundamentalzahlen vergleicht, die entstehen wenn man das System \(S\) vermöge zweier verschiedenen Punkttransformationen \(T\) auf zwei verschiedene kanonische Gestalten bringt.
Besitzen die Invarianten \(J_k\) den Vorzug der Symmetrie, so empfiehlt es sich doch, für gewisse Anwendungen folgende einfache Kombinationen derselben einzuführen: (11) \(K_0 = J_0\), \(K_1 = J_1 - J_0\), \(K_2 = J_2 - J_1,\dots, K_m = J_m - J_{m - 1}\). Nunmehr werden von den Invarianten \(J\) instruktive Anvendungen gemacht. Vor allem ergibt sich, daß ein gegebenes System \(S\) nur eine endliche Anzahl von Tafeln von Fundamentalzahlen (die den Invarianzbedingungen genügen) besitzt. Umgekehrt entspricht jeder solchen Tafel von Fundamentalzahlen nicht mehr als eine einzige kanonische Gestalt des Differentialsystems \(S\), woraus sofort folgt, daß die Zahl der verschiedenen kanonischen Gestalten eines Systems \(S\) stets eine begrenzte ist. Zugleich ergibt sich die Existenz von Punkttransformationen, die ein System \(S\) auf seine verschiedenen kanonischen Gestalten bringen. Unter den verschiedenen Tafeln von Fundamentalzahlen die zu einem verträglichen Differentialsystem \(S\) gehören, befindet sich eine ausgezeichnete, für die eine erste Reihe von der Form ist \(0, \alpha_1,\dots, \alpha_{m - 1}, \alpha_m\), während die Inviduen der übrigen Reihen entweder sämtlich verschwinden, oder nur an der ersten Stelle eine Einheit aufweisen. Diese ausgezeichnete Lösung der Invarianzgleichungen heißt die “extreme”, ebenso wie die korrespondierende kanonische Gestalt von \(S\). Denkt man sich umgekehrt die Invarianten \(J\) als vorgegebene Zahlen, so haben die letzteren der notwendigen und hinreichenden Bedingung zu genügen, daß die mit ihnen gebildeten Invarianzgleichungen eine extreme Lösung zulassen.
Erhöht man die Anzahl \(m\) der Variabeln, so bleiben trotzdem die \(m + 1\) Größen \(J\) die \(m + 1\) ersten Invarianten des neu gebildeten höheren Systems. Die extreme kanonische Gestalt von \(S\) hat noch eine andere bemerkenswerte Eigenschaft; sind nämlich die Ordnungen der verschiedenen kanonischen Gestalten verschieden, so ist die der extremen kanonischen Gestalt die Maximalordnung.
Dann und nur dann wenn alle Invarianten \(J\) verschwinden, ist das System \(S\) ein endliches.
Subjects:
Zweiter Abschnitt. Algebra. Kapitel 2. Theorie der Formen (Invarianten). B. Differentialinvarianten.
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