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On the invariants of integrals. (Sur les invariants intégraux.) (French) JFM 39.0190.01

In einer Reihe von Arbeiten vor allem in Bd. III seiner “Mécanique céleste” (Referat in Abschnitt \(\text{XII}_2\) dieses Bandes) hat H. Poincaré die allgemeine Theorie der Integralinvarianten entwickelt. Hier wird folgende allgemeine Frage untersucht: Es liege ein System von Differentialgleichungen vor, von dem eine (absolute oder relative) Integralinvariante irgend einer Ordnung bekannt sei; welcher Vorteil läßt sich aus dieser Kenntnis für die Integration des Systems ziehen ?
Das Hauptergebnis ist, daß sich aus jeder Integralinvariante wenigstens ein weiteres System von Differentialgleichungen herleiten läßt, dessen sämtliche Integrale das vorgelegte System befriedigen, derart, daß die Integration des abgeleiteten Systems ein einfacheres Problem darstellt. Sind im besonderen beide Systeme äquivalent, so läßt sich ein Multiplikator angeben.
Im ersten Abschnitt werden die wesentlichsten, für das folgende in Betracht kommenden Resultate aus der Theorie der vielfachen Integrale zusammengestellt. Es seien \(x_i\) \((i = 1, 2,\dots, n)\) \(n\) unabhängige Variabeln und \(A_{\alpha_1, \alpha_2,\dots, \alpha_p}\) \((p \leqq n)\) ein System von Funktionen der \(x\), mit \(p\) verschiedenen, aus den Zahlen \(1, 2,\dots, n\) entnommenen Indizes. Dabei sollen solche der Funktionen, für die nicht alle Indizes übereinstimmen, völlig unabhängig sein, dagegen solche mit nur verschiedener Anordnung der Indizes gleich oder entgegengesetzt gleich sein, je nachdem die bezügliche Permutation eine gerade oder ungerade ist.
Nimmt man dann an, daß die \(x\) ausgedrückt sind mittels \(p\) unabhängiger Variabeln \(u_k\) \((k = 1, 2,\dots, p)\), so dient als Grundlage das \(p\)-fache Integral: \[ \text{(I)}\quad\quad J_p = \iint \cdots \int \sum A_{\alpha_1, \alpha_2,\dots, \alpha_p}\;\frac {\partial x_{\alpha_1}} {\partial u_1}\;\frac {\partial x_{\alpha_2}} {\partial u_2} \cdots \frac {\partial x_{\alpha_p}} {\partial u_p}\;du_1 \dots du_p, \] erstreckt über ein gewisses Gebiet \(e_p\) des Raumes \((u)\), wo sich die Summierung \(\sum\) auf alle Permutationen der \(\alpha\) bezieht. Der Faktor von \(\sum A\) ist die Funktionaldeterminante der \(x_a\) nach den \(u\), und das Integral läßt sich abkürzen in: \[ \text{(II)}\quad\quad J_p = \iint \cdots \int \sum A_{\alpha_1, \alpha_2,\dots, \alpha_p} dx_{\alpha_1} \dots dx_{\alpha_p}. \] Über solche Integrale hat Poincaré eine Reihe von vergleichenden Theoremen aufgestellt, die hier rekapituliert werden. \(\sum A dx_{\alpha_1} \dots dx_{\alpha_p}\) heißt ein totaler exakter Differentialausdruck dann und nur dann, wenn das über irgend eine geschlossene \(p\)-fache Mannigfaltigkeit ausgedehnte Integral \(J_p\) den Wert Null liefert. Hierfür läßt sich ein einfacheres Kriterium angeben. Dies wird auf die einfachsten Fälle \(p = 1, 2, 3\) angewandt.
Sei ferner (1) \(\frac {dx_1} {X_1} = \frac {dx_2} {X_2} = \cdots = \frac {dx_n} {X_n} = dt\) ein System von Differentialgleichungen, wo die \(X_i t\) nicht enthalten, sowie nebst ihren Ableitungen eindeutig und stetig sind. Bilden \(f_1(t),\dots, f_n(t)\) ein Lösungssystem von (1), so heißt die durch die Gleichungen \(x_i = f_i(t)\) dargestellte eindimensionale Mannigfaltigkeit \(\varGamma_1\) eine “Charakteristik”. Durch jeden Punkt \((x_i^0 )\) läuft eine solche Charakteristik. Der Anfangswert von \(t\) sei Null. Innerhalb des Raumes \((x)\) sei \(E_p^0\) eine \(p\)-fache Mannigfaltigkeit; von jedem Punkte \((x_i^0)\) von \(E_p^0\) geht eine Charakteristik aus. Faßt man \(t\) als die Zeit auf, so ist nach Ablauf der Zeit \(t\) der Ausgangspunkt \((x_i^0)\) an eine Stelle \((x_i)\) gelangt. Der Ort dieser letzteren Punkte ist eine zweite \(p\)-fache Mannigfaltigkeit \(E_p\). Besitzt nun \(J_p\) für beide Mannigfaltigkeiten \({E_p}^0\) und \(E_p\) bei willkürlichem \(t\) denselben Wert, so heißt \(J_p\) eine absolute Integralinvariante der Ordnung \(p\) des Systems (1).
Es werden die Bedingungen für die Koeffizienten \(A\) aufgestellt, damit \(J_p\) zu einer absoluten Invariante, also \(\frac {dJ_p} {dt} = 0\) wird. Trifft die obige Invarianzeigenschaft nur für die geschlossenen Mannigfaltigkeiten zu, so heißt \(J_p\) eine “relative” Integralinvariante der Ordnung \(p\). In gewissen Fällen läßt sich ein Prozeßangeben, der eine absolute Invariante der Ordnung \(p\) aus einer solchen der Ordnung \(p - 1\) herzuleiten gestattet. Genügt hierbei \(J_p\) gewissen Relationen von der Form \(\sum_i AX_i = 0\), so heißt \(J_p\) eine “exzeptionelle” Invariante.
So ergibt sich der wichtige Satz, daß sich aus jeder absoluten oder relativen Integralinvariante \(J_p\) des Systems (1) – wo im ersteren Falle \(p > 1\) sein muß– durch Additionen, Multiplikationen und Differentiationen wenigstens eine weitere, nicht identisch verschwindende Invariante ableiten läßt. Nach diesen Vorbereitungen wird an die Untersuchung der Hauptfrage herangegangen, welcher Vorteil sich aus der Kenntnis einer Integralinvariante \(J_p\) der Differentialgleichungen (1) für die Integration derselben ziehen läßt.
Wenn also die Koeffizienten \(A_{\alpha_1, \alpha_2,\dots, \alpha_p}\) in \(J_p\) die oben erwähnten Relationen von der Form \(\sum_i A X_i = 0\) befriedigen, wie sind die Indizes \(a\) zu wählen, damit die Gleichungen (1) die folgenden (2) \(\sum A dx_i = 0\) nach sich ziehen?
Es wird gezeigt, daß sich die Gleichungen (2) auf gewisse \(m (\leqq n - 1)\) verschiedene zurückführen lassen, sowie daß diese letzteren ein vollständig integrales System bilden. Hierbei wird ein Hülfssatz von Frobenius (F. d. M. 9, 249, 1877, JFM 09.0249.03) benützt über die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, daß ein Differentialsystem von \(m\) verschiedenen Gleichungen von der Gestalt \(\sum A_{\mu i} dx_i = 0 (\mu = 1, 2,\dots, k; i = 1, 2,\dots, n)\) vollständig integrabel ist.
Darauf werden die einfachsten Fälle \(p = 1, 2\) im einzelnen durchgeführt. Aus jeder Invariante \(J_1\) erster Ordnung läßt sich eine integrable Kombination der Gleichungen (1) herleiten. Für \(p = 2\) sind die beiden Fälle eines geraden und ungeraden \(n\) zu unterscheiden. Im ersteren tritt eine Vereinfachung des Integrationsproblems dadurch ein, daß man vermöge Integration eines Systems von \(n - p - 1\) Differentialgleichungen zu ebenso vielen ersten Integralen von (1) gelangt; im letzteren Falle, wo die Determinante \(\varDelta = \mid A_{ik} \mid\) stets verschwindet, tritt entweder das eben angeführte Ergebnis ein, oder aber es läßt sich ein Multiplikator des Systems (1) angeben.
Kennt man dagegen eine absolute Integralinvariante \(J_1\) von (1), so gelangt man mit Hülfe von Quadraturen ohne weiteres zu einem ersten Integral von der Gestalt \(U =\int \mu_1 dx_1 + \dots + \mu_n dx_n = \text{Konst.}\) Verschwindet überdies \(J_1\) identisch, so tritt die Modifikation ein, daß die Konstante in eine ganze lineare Funktion von \(t\) übergeht.

Citations:

JFM 09.0249.03
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