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A class of groups in an arbitrary realm connected with the configuration of the 27 lines on a cubic surface (Second paper). (English) JFM 39.0198.03

In einer früheren Arbeit (Quart. J. 33, 145; F. d. M. 32, 133, 1901, JFM 32.0133.01), die denselben Titel führt, hat der Verf. die lineare homogene Gruppe\(G\) mit Koeffizienten aus einem beliebigen endlichen oder unendlichen Zahlkörper \(F\) untersucht, deren Substitutionen eine gewisse kubische Form \(C\) mit 27 Variabeln und 45 Gliedern ungeändert lassen. Diese Form \(C\) hängt mit der Konfiguration der von den 27 Geraden einer kubischen Fläche gebildeten 45 Dreiecke zusammen. Ist \(F\) der Körper aller Zahlen, so wird \(G\) die zuerst von Killing angegebene einfache kontinuierliche Transformationsgruppe mit 78 Parametern. Bedeutet ferner \(F\) das Galoissche Feld mit \(p^n\) Elementen, so wird \(G\) eine endliche Gruppe. Bei der Bestimmung der Ordnung \(g\) dieser Gruppe ist Dickson in der früheren Arbeit ein kleines Versehen mit unterlaufen, wodurch er für \(g\) den unrichtigen Wert \[ p^{36n} (p^{12n} - 1) (p^{9n} - 1) (p^{8n} - 1) (p^{6n} - 1) (p^{5n} - 1) (p^{n} - 1) (p^{n} + 2) \] erhalten hat. In der vorliegenden Arbeit wird dieses Versehen korrigiert; als genauer Wert von \(g\) ergibt sich \[ p^{36n} (p^{12n} - 1) (p^{9n} - 1) (p^{8n} - 1) (p^{6n} - 1) (p^{5n} - 1) (p^{2n} -1). \] Zugleich werden für einige der in der früheren Arbeit benutzten Hülfssätze einfachere Beweise angegeben.

Citations:

JFM 32.0133.01
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