La théorie générale de Galois. (French) JFM 39.0203.02

Lalesco, T.

Toulouse Ann. (2) 10, 113-123 (1908).

Ist \(f(x) = 0\) eine algebraische Gleichung ohne mehrfache Wurzeln, deren Koeffizienten einem Zahlkörper \(K\) angehören, so gilt bekanntlich für die Galoissche Gruppe \(\mathfrak G\) der Gleichung in bezug auf den Zahlkörper \(K\) der Satz: Jede rationale Funktion der Wurzeln mit Koeffizienten aus \(K\), die bei allen Permutationen von \(\mathfrak G\) dem Werte nach ungeändert bleibt, ist eine Zahl des Körpers \(K\). Dieses Fundamentaltheorem der Galoisschen Theorie wird gewöhnlich unter Zuhülfenahme einer Galoisschen Resolvente der Gleichung \(f(x) = 0\) bewiesen. Einen anderen Beweis hat Söderberg (Acta Math. {11}, 297-302 angegeben. Der Verf. vereinfacht diesen Beweis und zeigt, wie sich auf Grund des Fundamenthaltheorems die übrigen Hauptsätze der Galoisschen Theorie entwickeln lassen, ohne daß hierbei die Galoisschen Resolventen der Gleichung vor den anderen Resolventen als wesentlich bevorzugt erscheinen.

Reviewer: Schur, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Algebra. Kapitel 3. Substitutionen und Gruppentheorie, Determinanten, Elimination und symmetrische Funktionen. A. Substitutionen und Gruppen.