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Sui gruppi di rotazioni. (Italian) JFM 39.0208.03
Einige Entwicklungen dieser Arbeit finden sich schon in der vorstehend besprochenen: “Sui gruppi conformi” des Verf (JFM 39.0208.02). Die Gruppe der Rotationen des \(R_n\) ist von den infinitesimalen Transformationen \(S_{ik} = x_i p_k - x_k p_i\) erzeugt, und der Verf. fragt nach allen reellen Untergruppen die sie enthält. Dabei erweist sich die Betrachtung gewisser spezieller linearer Kombinationen der \(S_{ik}\) als sehr nützlich. Sehr bemerkenswert ist auch die kanonische Form: \(\sum m_\lambda S_{2\lambda - 1, 2\lambda}\) einer beliebigen reellen infinitesimalen Rotation. Die umfangreichen und zum Teil schwierigen Untersuchungen des Verf. im einzelnen zu verfolgen, geht hier nicht an. Das Ergebnis ist : Jede reelle Gruppe von Rotationen zerfällt in eine Anzahl von Untergruppen derart, daß jede infinitesimale Transformation einer solchen Untergruppe mit jeder Transformation aller anderen Untergruppen vertauschbar ist. Solcher Untergruppen gibt es vier Arten: 1. solche mit paarweise vertauschbaren Transformationen, 2. solche, die mit der Gruppe aller Rotationen in einem \(R_m (m < n; m \neq 4)\) gleich zusammengesetzt sind, 3. solche, die mit der allgemeinen projektiven Gruppe eines niederen Raumes gleich zusammengesetzt sind, 4. solche, die mit der Gruppe eines linearen Komplexes in einem niederen Raume gleich zusammengesetzt sind. Für den Fall, daß die Gruppe selbst einer dieser vier Arten angehört, wird jedesmal eine Normalform angegeben, die sie erhalten kann. Die Beschränkung auf reelle Untergruppen hat freilich, was ich nicht unerwähnt lassen möchte, die Folge, daß z. B. die vierzehngliedrige einfache Gruppe, deren Vorhandensein Killing zuerst bemerkt hat, nicht unter den Gruppen von Rotationen erscheint.
Subjects:
Zweiter Abschnitt. Algebra. Kapitel 3. Substitutionen und Gruppentheorie, Determinanten, Elimination und symmetrische Funktionen. A. Substitutionen und Gruppen.
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Full Text: Numdam EuDML