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On higher congruences and modular invariants. (English) JFM 39.0256.04

“Diese Abhandlung bezweckt die Durchführung einer zweifachen Verallgemeinerung der Hurwitzschen expliziten Formel (Arch. der Math. u. Phys. (3) 5, 17; F. d. M. 34, 223, 1903, JFM 34.0223.02) für die Anzahl ganzzahliger Wurzeln einer gegebenen Kongruenz modulo \(p\), wo \(p\) eine Primzahl ist. Einerseits können wir eine gleich einfache Formel ableiten, welche, abgesehen von einem Vielfachen von \(p\), die Anzahl der Wurzeln von einer speziellen Ordnung \((\leqq t)\) der Irrationalität gibt, nämlich die zu dem Galoisschen Felde von der Ordnung \(p'\) gehörenden Wurzeln. Andererseits kann das Problem ohne Verlust der Einfachheit weiter verallgemeinert werden, indem man das anfängliche Feld der ganzen Zahlen modulo \(p\) durch ein willkürliches Galoissches Feld \(GF(p^n)\) ersetzt. Aus seiner Formel leitet Hurwitz eine absolute Invariante \((p-1)\)-ten Grades der allgemeinen binären Form bei linearen, modulo \(p\) genommenen Transformationen ab. Er sagt, eine der Grundfragen in der Theorie der modularen Invarianten sei die Frage der Endlichkeit: ob alle Invarianten als rationale ganze Funktionen mit ganzzahligen Koeffizienten einer endlichen Anzahl von Invarianten ausgedrückt werden können. Unter Betonung der Schwierigkeit dieser Frage beantwortet er sie nur für einen besonderen Fall.”
Wir führen folgendes Theorem des Verf. an: “Die Anzahl \(A\) von verschiedenen Lösungssystemen, die nicht beide Null sind, in dem \(GF(p^n)\) einer homogenen Gleichung (12) \(f(x_1x_2)=a_0x_1^r+a_1x_1^{r-1}x_2+\dots +a_rx_2^r=0\) mit Koeffizienten in dem \(GF(p^n)\) ist kongruent \(A^{\*}\) modulo \(p\), wo (13) \(A^{*}-1=-a_0^{p^n-1}-a_r^{p^n-1}+\sum_\alpha \frac{{(p^{nm}-1)!}{\alpha_0\!\alpha_1\!\dots \alpha_r\!}}\;a_0^{\alpha_0}a_1^{\alpha_1}\cdots a_r^{\alpha r}\), wo \[ (5)\quad\quad \alpha_0+\alpha_1+\cdots +\alpha_r=p^{nm}-1, \]
\[ (6)\quad\quad \alpha_1+2\alpha_2+\cdots +r\alpha_r\equiv 0 \;(\text{mod.\,}p^{nm}-1) \] oder aber (6) und \[ (7)\quad\quad \alpha_i=\sum_{j=0}^{mn-1}c_{ij}p^j\quad (0\overset{=}< c_{ij}\overset{=}< p),\quad\quad (5)\quad \sum_{i=0}^rc_{ij}=p-1 \] ist. Die durch die rechte Seite von (13) definierte Funktion ist eine absolute modulare Invariante von \(f(x_1,x_2)\)”.

MSC:

11D79 Congruences in many variables

Citations:

JFM 34.0223.02
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