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On the last theorem of Fermat. (English) JFM 39.0260.01

Mess. Math. (2) 38, 14-32 (1908).
“Alle, die über den Gegenstand schrieben, haben es für notwendig erachtet, den Fall, in welchem keine der ganzen Zahlen \(u,v,w\) (in \(u^n+v^n+u^n=0\)) durch die Primzahl \(n\) teilbar ist, von dem zu scheiden, in welchem wenigstens eine durch \(n\) teilbar ist. Für den ersten Fall wurde eine sehr einfache Methode (vgl. §§2 u. 3) von Sophie Germain ersonnen und von Legendre verallgemeinert; sie findet auf jede Primzahl \(n\) Anwendung, für welche eine der Zahlen \(mn+1\) \((m=2,4,8,10,14,16)\) eine Primzahl ist, wobei der Ausnahmecharakter von \(n=3\) für \(m=10\) und \(14\) übersehen wurde).
In der vorliegenden Arbeit erhalte ich dieses Resultat durch eine direkte allgemeine Analyse und dehne es aus auf die neuen Fälle \(m=20,22,26,28,32,40,56,64\) (die Ausnahmewerte von \(n\) werden in §23 gegeben). Die Unmöglichkeit von \(u^n+v^n+w^n=0\) für ganze Zahlen, die nicht durch die ungerade Primzahl \(n\) teilbar sind, wurde von Sophie Germain für jede ungerade Primzahl \(n<100\) bewiesen, für \(n<200\) von Legendre. Die Grenze wurde von E. Maillet bis 223 hinausgeschoben [Assoc. Franç. St. Étienne 26, 156–168 (1897; JFM 29.0159.01)], von M. Mirimanoff bis 257 [J. Reine Angew. Math. 128, 45–68 (1904; JFM 35.0216.03)]. In der gegenwärtigen Abhandlung stelle ich das Resultat für \(n<1700\) sicher”.
Schlußtheorem. “Für eine ungerade Primzahl \(n<1700\) besteht kein Wertsystem ganzer Zahlen, von denen jede durch \(n\) nicht teilbar ist, sodaß \(u^n+v^n+w^n=0\)”.

MSC:

11D41 Higher degree equations; Fermat’s equation