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On the congruence \(x^n+y^n+z^n\equiv 0\pmod p\). (English) JFM 39.0260.02

Diese Arbeit stellt sich das Problem, zu einer gegebenen Primzahl \(n\ne 2\) alle möglichen Primzahlen \(p\) von der Form \(mn+1\) \((m\ne 0 \pmod 3\) zu finden, für die die im Titel angegebene Kongruenz lösbar ist. Da unter Lösung immer ein Zahlentripel \(x,y,z\), die nicht durch \(p\) teilbar sind, zu verstehen ist, so kommt das Problem auf die Lösung der Kongruenz \[ 1+\rho^n\equiv \sigma^n \pmod{p=mn+1} \] heraus, \(\rho\) und \(\sigma\) prim zu \(p\). Das Resultat lautet:
für \(n=3\) ist die Kongruenz nur für \(p=7,13\) unlöslich,
für \(n=5\) ist die Kongruenz nur für \(p=11,41 71,101\) unlöslich,
für \(n=7\) ist die Kongruenz nur für \(p=29,71,113,491\) unlöslich.

MSC:

11D41 Higher degree equations; Fermat’s equation
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Full Text: Crelle EuDML