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Sur la sommabilité des séries d’une variable réelle ou complexe. (French) JFM 39.0323.03

Es wird vorausgesetzt, daß die Reihen (1) \(F(x)=u_0(x)+u_1(x)+u_2(x)+\cdots,\) (2) \(f(\xi)=c_0(\xi)+c_1(\xi)+\cdots\) die linken Seiten darstellen, ferner daß \(f(\xi)\) für \(\xi=\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\) unendlich wird, aber so, daß die Reihe (2) \(f(\xi)\) in der unmittelbaren Umgebung der \(\alpha\) darstellt oder wenigstens, wenn \(\xi\) gegen ein \(\alpha\) in einer bestimmten Weise konvergiert. Bezeichnet \(s_n\) die Summe der \(n+1\) ersten Glieder der Reihe (1), so ist: \[ (3_1)\quad F(x)=lim_{n=\infty}s_n,\quad \quad (3_2)\quad F(x)=\lim_{\xi=\alpha}\sum_{m=0}^\infty\frac{c_ns_n}{f(\xi)}. \] Jeder Funktion \(f(xi)\), die Unendlichkeitsstellen hat, entsprechen demnach eine oder mehrere Summierbarkeitsformeln.
Setzt man \[ (4)\quad F(\theta)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}F(\xi)d\xi+\sum_1^\infty \int_0^{2\pi}F(\xi)\cos n(\xi-\theta)d\xi, \]
\[ (5)\quad f(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(\zeta)d\zeta+\frac{1}{\pi} \sum_1^\infty\int_0^{2\pi}f(\zeta)\cos n(\zeta-\tau)d\zeta, \] wo vorausgesetzt ist, daß \(f(\tau)\) im Intervall \((0,2\pi)\) wenigstens eine Unendlichkeitsstelle \(\tau=\alpha\) bestzt, in deren Umgebung die Formel (5) gültig bleibt, wenn man eine Folge von Zahlen \(\alpha_k\) betrachtet, die mit unendlich wachsendem \(k\) gegen \(\alpha\) konvergiert, und wenn man \[ (6)\quad S_k=\frac{c_0(\alpha_k)s_0+c_1(\alpha_k)s_1+\cdots +c_k(\alpha_k)s_k}{f(\alpha_k} \] setzt, so erhält man \[ F(\theta)=S_0+(S_1-S_0)+(S_2-S_1)+\dots \] Da \(s_k=\frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}F(\xi)\;\frac{\sin (2k+1)\frac{\xi- \theta}{2}}{\sin\frac{\xi-\theta}{2}}\;d\xi\) und \(c_k\) das \((k+1)\)- te Glied der Reihe (5) ist, so ergibt sich für \(S_k\) die Summe zweiter Doppelintegrale von der Form \[ \int_{-\frac{\theta}{2}}^{\pi-\frac{\theta}{2}} \int_{-\frac{\tau}{2}}^{\pi-\frac{\tau}{2}} F(\theta+2u)\;\frac{f(\tau+2v)}{f(\tau)}\;\frac{\sin (u+1)(u+v)}{\sin(u+v)} \;\frac{\sin [u+n(u+v)]}{\sin u}\;du dv, \]
\[ \int_{-\frac\theta2}^{\pi-\frac\theta2}\int_{-\frac\tau2}^{\pi- \frac\tau2}\;F(\theta+2u)\;\frac{f(\tau+2v)}{f(\tau)}\;\frac{\sin n(u- v)}{\sin(u-v)}\;\frac{\sin [u+(n+1)(n-v)]}{\sin u}\;du dv. \] Ein solcher Ausdruck ist eine Verallgemeinerung des einfachen Dirichletschen Integrals; er hängt formell von der Funktion \(f(\tau)\), in Wirklichkeit nur von den Unendlichkeitsstellen \(\tau=\alpha\) ab.
Die Ausdrücke \[ (8)\quad U(r,\theta)= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} F(\xi)d\xi+\frac1\pi \sum_1^\infty \int_0^{2\pi} F(\xi)r^n\cos n(\xi-\theta)d\xi, \]
\[ (9)\quad V(\varrho,\tau)= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\zeta)d\zeta+\frac{1}{\pi} \sum_1^\infty\int_0^{2\pi} f(\zeta)\varrho^n\cos n(\zeta-\tau)d\zeta \] sind Lösungen der Laplaceschen Gleichungen \[ \frac{\partial^2 U}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\;\frac{\partial ^2U}{\partial \theta^2}+\frac{1}{r}\;\frac{\partial U}{\partial r}=0,\quad \frac{\partial ^2V}{\partial \varrho^2}+\frac{1}{\varrho^2}\;\frac{\partial^2V}{\partial \varrho^2}+\frac{1}{\varrho}\;\frac{\partial V}{\partial \varrho}=0. \] Diese Lösungen nehmen auf dem Einheitskreise \((r=1\), bez. \(\varrho=1)\) die Werte \(F(\varTheta), f(\tau)\) an; vorausgesetzt ist, daß \(F\) und \(f\) durch die Fourierschen Reihen (4) und (5) darstellbar sind. Nun seien \(s_n,c_n\) wieder die Summen der \((n+1)\) ersten Glieder dieser Reihen, \(f(\tau\) werde unendlich für \(\tau=\alpha; \varrho_k,\tau_k\) seien solche Werte, daß für ein unendlich wachsendes \(k \varrho_k\) gegen 1, \(\tau_k\) gegen \(\alpha\) konvergiert, dann konvergiert für ein unendlich wachsendes \(k\) der Ausdruck \[ S_k= \frac{c_0(\varrho_k,\tau_k)s_0+c_1(\varrho_k,\tau_k)s_1+\dots +c_k(\varrho_k,\tau_k)s_k}{V(\varrho_k,\tau_k)} \] auf dem Umfange des Kreises \(r=1\) gegen \(F(\theta)\); er ist folglich eine Lösung der Formel (8).
Es gibt nach dem Dirichletschen Prinzip nur eine solche Funktion; wir haben eine unendliche Anzahl von Ausdrücken, die ihrer Form nach von einer willkürlichen Funktion abhängen, konstruiert, um diese eine Lösung darzustellen.
Es sei \(F(x)\) eine meromorphe Funktion, deren Pole \(a_1,a_2,a_3,\dots\) als einfach angenommen werden und nach wachsenden Moduln geordnet sind. Der Nullpunkt sei ein regulärer Punkt, und die in dem um den Nullpunkt mit dem Radius \(a_1\) beschriebenen Kreis \(C_0\) gültige Taylorsche Entwicklung sei bekannt; \(s_n\) sei die Summe der \((n+1)\) ersten Glieder, \(C_k\) sei der um den Nullpunkt beschriebene Kreis, dessen Radius zwischen \(a_k\) und \(a_{k+1}\) liegt. Dann gilt in \(C_k\): \[ F(x)=\sum_{i=1}^k\;\frac{A_i}{x-a_1}+ak_0+ak_1x+ak_2x^2+\dots. \] Es sei \(f(\xi)=\gamma_0+\gamma_1\xi^2+\dots\), \(c_n=\gamma_n\xi^n\); dann ergibt sich \(F(x)=\sum_{n=0}^\infty\;\frac{c_ns_n}{f(\xi)} +\sum_{i=1}^{k}\frac{A_ix}{a_1(x-a_1)}+\sum_{n=0}^\infty a_{k(n+1)}x^{n+1}\;\frac{\gamma_0+\gamma_1\xi+\gamma_2\xi^2+\cdots +\gamma_n\xi^n}{f(\xi)}.\) Untersuchung des Falls, daß \(F(x)\) mehrfache Pole hat.
Richtet man es so ein, daß \(f\left(\frac{\xi x}{a_i}\right)/f(\xi)\) gleich Null wird, so ergibt sich \[ F(x)=\lim_{\xi=\infty}\;\sum_{n=0}^\infty\;\frac{c_ns_n}{f(\xi)}. \] Besprechung verschiedener Fälle: \(f(\xi)=e^\xi\), \(e^{\xi p}\), \(e^{e\xi}\), \(\sigma(\xi)\), wo, \(\sigma\) die Weierstraßsche Funktion ist. (Siehe auch JFM 39.0323.02)

Citations:

JFM 39.0323.02
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