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Sur la généralisation des séries trigonométriques. (French) JFM 39.0325.01

Bei der Darstellung einer reellen Funktion \(f(x)\) mittels der Zeichen der Analysis kommt man fast immer zu Aufgabe der analytischen Fortsetzung. Eine in einem bestimmten Intervall \(\alpha\), aber nicht außerhalb desselben definierte Funktion kann man in einem äußeren Bereich \(\beta\) willkürlich fortsetzen; diese Willkür kann jedoch vermindert werden. Eine in eine trigonometrische Reihe entwickelte Funktion wird in allen gleichen, vorhergehenden und nachfolgenden Intervallen identisch reproduziert. Die Untersuchung der Darstellung einer Funktion ist erst vollständig, wenn sie auch in jedem äußeren Bereich berücksichtigt wird.
Es sei \(dv/dx=-ku\), \(du/dx=kv\), demnach \(v=A\cos (kx-\theta)\), \(u=A\sin (kx-\theta)\), worin \(\theta\) ein willkürlicher Parameter von gleicher Art wie \(k\) ist.
Gibt man \(k,\theta\) eine unendliche Anzahl von zusammengehörigen Werten \(k_\nu,\theta_\nu\), wo \(\nu\) eine ganze, von \(-\infty\) bis \(+\infty\) gehende Zahl bedeutet, so ist identisch \[ k_\nu\int_\alpha^\beta v_\mu v_\nu dx-k_\mu\int_\alpha^\beta u_\nu u_\mu dx=(u_\nu v_\mu)_\alpha^\beta, \]
\[ k_\mu\int_\alpha^\beta v_\nu v_\mu dx-k_\nu\int_\alpha^\beta u_\mu u_\nu dx=(u_\mu v_\nu)_\alpha^\beta; \] sind die rechten Seiten für beliebige \(\mu,\nu\) gleich Null, so sind die Integrale \(\int_\alpha^\beta v_\mu v_\nu dx\), \(\int_\alpha^\beta u_\mu u_\nu dx\) gleich Null für \(\mu \neq \nu\), dagegen einander gleich für \(\mu=\nu\).
Die Bedingung \((u_\nu v_\mu)_\alpha^\beta=0\) kann in der Form \(u_\nu(\alpha)/u_\nu(\beta)=v_\mu(\beta)/v_\mu(\alpha)\) oder \(\sin (k_\nu\alpha-\theta_\nu)/\sin (k_\nu\beta-\theta_\nu)= \cos (k_\mu\beta-\theta)/\cos(k_\mu\alpha-\theta_\mu)\) geschrieben werden; eine solche Gleichung kann nur bestehen, wenn beide Seiten der Gleichung von den Zeigern unabhängig sind. Setzt man beide gleich \(\text{tg\,}\varphi\), so ist \[ k_\nu=\frac{2\nu\pi\pm\left({\frac{\pi}{2}}-2\varphi\right)}{\beta-\alpha},\quad \theta_\nu=\left[\nu\pi\pm\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)\right] \frac{\beta+\alpha}{\beta-\alpha}-\frac{2\lambda+1}{4}\pi, \] wo \(\lambda\) ein ganzer Parameter ist.
Für eine Funktion \(f(x)\), die im reellen Intervall \(\alpha,\beta\) den Dirichletschen Bedingungen genügt, ergeben sich die Darstellungen:
\[ \begin{aligned} & \text{(A)}\quad f(x)=\frac{2}{\beta-\alpha}\sum_{\nu=-\infty}^{+\infty} {\cos\atop\sin}(k_\nu x-\theta_\nu)\int_\alpha^\beta f(\xi) {\cos\atop \sin}(k_\nu\xi-\theta_\nu)d\xi,\\ &\text{(B)}\quad \left.\begin{smallmatrix}\r\\ f(x)\\ 0\end{smallmatrix}\right\}=\frac{1}{\beta-\alpha}\sum_{\nu=-\infty}^{+\infty}\int_\alpha^\beta f(\xi){\cos\atop\sin}\quad k_\nu(x-\xi)d\xi,\quad k_\nu=\frac{2\nu\pi\pm(\frac{\pi}{2}-2\varphi)}{\beta-\alpha},\\ & \text{(C)}\quad (-1)^\lambda f(x)=\frac{2}{\beta-\alpha}\sum_{\nu=-\infty}^{+\infty}{\sin\atop \cos} (k_\nu x-\theta_\nu)\int_\alpha^\beta f(\xi){\cos\atop\sin}(k_\nu\xi-\theta_\nu)d\xi,\\ & \text{(E)}\quad\left. \begin{smallmatrix}\r\\ f(x)\\ 0\end{smallmatrix}\right\}=\frac{\frac{1}{\beta-\alpha}\sum_{\nu=-\infty}^{+\infty}\int_\alpha^\beta\int_{\psi_0}^{\psi_1}f(\xi) F(x,\psi){\cos\atop\sin} k_\nu(x-\xi)d\psi d\xi}{\int_{\psi_0}^{\psi_1}F(x,\psi)d\psi},\quad k_\nu=\frac{2\nu\pi+\psi}{\beta-\alpha};\end{aligned} \] im Zähler ist die Reihenfolge der Integrationen willkürlich. Die rechte Seite von \((E)\) wird eine verallgemeinerte trigonometrische Reihe genannt. Von der Funktion \(F(x,\psi)\) ist vorausgesetzt, daß sie für alle reellen Werte von \(x\) und für die Werte von \(\psi\) in einem bestimmten Intervall \((\psi_0, psi_1)\) existiert.
2. Kapitel. Durch Verschiebung des Intervalls \((\alpha,\beta)\) längs der \(x\)-Achse ergeben sich die Intervalle \[ \dots;\alpha-(\beta-\alpha),\alpha;\alpha,\beta;\beta,\beta+(\beta-\alpha); \beta+(\beta-\alpha),\beta+2(\beta-\alpha);\dots \] die den Zahlen \(\dots;-1;0;1;2;\dots\) zugeordnet werden, diese Zahlen werden ihr Rang genannt. Für das \(n\)-te Intervall ergibt sich dann \[ \text{(F)}\quad f(x)\frac{\int_{\psi_0}^{\psi_1}F(x,\psi)_{\sin}^{\cos}n\psi d\psi}{\int_{\psi_0}^{\psi_1}F(x,\psi)d\psi}=\frac{\frac{1}{\beta-\alpha}\sum_{\nu=-\infty}^{+\infty} \int_{\psi_0}^{\psi_1}f(x)F(x,\psi)_{\sin}^{\cos}k_\nu(x-\xi)d\psi d\xi}{\int_{\psi_0}^{\psi_1}F(x,\psi)d\psi}, \] wo \(x\) von \(-\infty\) bis \(+\infty\) variieren kann.
Setzt man \(\psi_1=2\pi\), \(\psi_0=0\), so ergibt sich: \[ F(x,\psi)=\tfrac{1}{2}A_0(x)+A_1(x)\cos\psi+A_2(x)\cos2\psi+\cdots+ B_1(x)\sin\psi+B_2(x)\sin2\psi+\cdots, \] wo \[ \int_0^{2\pi}F(x,\psi)\cos m\psi d\psi=\pi A_m(x),\quad \int_0^{2\pi}F(x,\psi)\sin m\psi d\psi=\pi B_m(x) \] ist; die linke Seite von (F) wird \[ f(x)\;\frac{A_n(x)}{A_0(x)}\quad\text{oder}\quad f(x)\frac{B_n(x)}{B_0(x)}, \] je nachdem auf der rechten Seite cos oder sin genommen wird. Die Reihe (F) stellt demnach in allen Intervallen von positiven Range die ursprüngliche Funktion dar, multipliziert mit Funktionen von \(x\), die für jedes Intervall willkürlich sind; dasselbe gilt für Intervalle von negativem Range. Daher gilt:
Eine verallgemeinerte trigonometrische Reihe vom Typus (F), die \(f(x)\) oder 0 im Intervall 0 darstellt (je nachdem man cos oder sin nimmt), stellt in allen andern Intervallen \(f(x)\) dar, multipliziert mit Funktionen von \(x\), die im voraus gegeben sein können.
3. Kapitel. Eine Reihe (G) stellt im allgemeinen eine Linie dar, welche die Endpunkte eines Intervalles von beliebigen Range als Unstetigkeiten hat. Es kann ausnahmsweise Stetigkeit beim Übergang von jedem positiven (oder 0-ten) Intervall zum folgenden stattfinden.
Die Fejérsche Summation kann auf die verallgemeinerten trigonometrischen Reihen angewandt werden.
Setzt man \[ s_\omega=\frac{1}{\beta-\alpha}\sum_{\nu=-\omega}^{+\omega}\int_\alpha^\beta f(\xi){\cos\atop \sin} k_\nu(x-\xi)d\xi,\quad k_\nu=\frac{2\nu\pi\pm(\frac{\pi}{2}-2\varphi)}{\beta-\alpha}, \] so wird \[ \frac{s_0+s_1+\cdots +s_{n-1}}{n}=\frac{1}{\pi n}\int_{\pi\frac{\alpha-x}{\beta-\alpha}}^{\pi\frac{\beta-x}{\beta-\alpha}}\;\frac{{\sin}^2n\gamma}{{\sin}^2\gamma}\;{\cos\atop\sin} \left[\tfrac\gamma\pi\,\left(2 \varrho-\tfrac\pi2\right)\right]f\left(x+\gamma\;\frac{\beta-\alpha}{\pi}\right)d\gamma; \] für \(n=\infty\) ergibt sich \(\frac{1}{2}[f(x-0)+f(x+0)]\) oder 0, je nachdem man die cos oder sin nimmt.
Ist \(f(x)\) stetig in \((\alpha,\beta)\), so ist \(f(x)\) oder 0 gleich \[ \frac1\pi\sum_{n=1}^{\infty}\int_{\alpha}^{\beta}f(\xi)\frac{d}{dx}\left\{ \frac{\sin(n-1)\pi\frac{x-\xi}{\beta-\alpha}\sin n\pi\frac{x-\xi}{\beta-\alpha}}{n(n-1)\sin\pi\frac{x-\xi}{\beta-\alpha}}\right\}\;\cdot{\cos\atop\sin} \left[\left(\frac{\pi}{2}-2\varrho\right)\frac{x-\xi}{\beta-\alpha}\right]d\xi; \] diese Reihen stellen in einem beliebigen Intervalle dasselbe dar, wie die Reihen (B); für \(4\varrho=\pi\) wie die Fouriersche Reihe; es ist also keine charakteristische Eingenschaft der Fourierschen Reihe, daß sie eine in einem Intervall vom Range 0 gegebene Funktion auch jedem andern Intervalle darstellt.