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Su un problema al contorno nelle equazioni differenziali lineari ordinarie del secondo ordine. (Italian) JFM 39.0387.02
In vielen klassischen Problemen der mathematischen Physik wird man auf die Untersuchung der Integrale der Differentialgleichung \[ (1) \qquad \frac{d^2y}{dx^2} + yA (x) = 0 \] geführt, welche den Grenzbedingungen \[ (2)\qquad a_u [y]_a+ a_2 \left[\frac{dy}{dx} \right]_a =\alpha, \quad b_1[y]_b + b_2 \left[ \frac{dy}{dx} \right]_b = \beta \] genügen, wo \(a_1, b_1, a_2, b_2, \alpha, \beta\) gegebene Größen sind und die Funktion \(A(x)\) im Intervall \((a, b)\) endlich, stetig und nicht negativ ist. In der vorliegenden Arbeit werden die vier Fälle \[ (3) \qquad \begin{cases} a_1 = 1, \quad b_1 =1, \quad a_2 = 0, \quad b_2= 0,\\ a_1 = 0, \quad b_1 =0, \quad a_2 = 1, \quad b_2= 1,\\ a_1 = 1, \quad b_1 =0, \quad a_2 = 0, \quad b_2= 1,\\ a_1 = 0, \quad b_1 =1, \quad a_2 = 1, \quad b_2= 0 \end{cases} \] vollständig erledigt. Der erste Fall wurde bereits von Picard (Traité d’Analyse, t. III; Chap. 6), der zweite von Mason (Math. Ann. 58) behandelt. Hier werden die 4 Fälle gleichzeitig untersucht, und zwar mittels derselben Greenschen Funktion (Kap. III). Als Muster für die Behandlung des Problems hat dem Verf. eine 1905/6 gehaltene Vorlesung von Bianchi gedient, der die Untersuchung des Picardschen Falles in voller Strenge durchgeführt hat.
In den Kap. IV, V und VI konstruiert Verf. wie Picard, einer Idee von Schwarz (Ges. Math. Abh. 1, 251 ff.) folgend, für jeden der Fälle (3) die Folge der “Konstanten der Lage”, deduziert aus den Werten derselben die Möglichkeit der entsprechenden Randwertprobleme und untersucht mit großer Annäherung und möglichster Strenge die einzelnen Integralkurven. Im Kap. II gibt Verf. eine für das vorliegende Problem fundamentale Untersuchung über die Verteilung der Nullstellen eines Integrals einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung und seiner Ableitung; dabei ergeben sich die bekannten Sturmschen Theoreme für die Nullstellen der Ableitung eines Integrals von (1).
Im Kap. VIII erweisen sich die reziproken Werte der “Konstanten der Lage” als Minima der Quotienten zweier Integrale (vgl. Hilbert, 2. Mitt., Göttinger Nachr. 1904 und Mason a. a. O.). Im Kap. IX untersucht Verf. die ganzen transzendenten Funktionen, welche die reziproken Werte der Konstanten der Lage als Nullstellen besitzen, und gibt einen eleganten Kalkül für die Berechnung dieser Konstanten in den beiden letzten der Fälle (3) an (vgl. Picard a. a. O. für den ersten der Fälle (3)); die Benutzung der Resultate von Dini (Annali di Mat. (3) 12, 179 ff.) ermöglicht dabei die Erreichung vollkommener Strenge. Im Kap. X zeigt Verf., wie die Theorie der Konstanten der Lage dazu dienen kann, die Randwertprobleme auch in dem Falle zu behandeln, daß \(A(x)\) sich im Intervall \((a, b)\) nicht immer nicht-negativ verhält. Im Kap. XI endlich behandelt Verf. das Randwertproblem für die nichthomogene Gleichung \(d^2y/dx^2 + y A(x) = f (x)\) in den beiden letzten der Fälle (3), unter der alleinigen Annahme der Endlichkeit und Stetigkeit von \(A(x)\) und \(f(x)\) im Intervall \((a,b)\); hier stützt sich Verf. auf die Arbeit von Fredholm in (Acta Math. 27; F. d. M. 34, 422, 1903, JFM 34.0422.02) über die linearen Integralgleichungen; diese Methode führt schneller zum Ziel und ist allgemeiner als die obige, gewährt aber dafür nicht einen so tiefen Einblick in die Natur der Inetegrale.

Citations:
JFM 34.0422.02
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Full Text: Numdam EuDML